حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{8} (\sqrt[3]{x} - \frac{1}{x}) d x$

خطوة 1

احذِف الأقواس.

$\int_{1}^{8} \sqrt[3]{x} - \frac{1}{x} d x$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{1}^{8} \sqrt[3]{x} d x + \int_{1}^{8} - \frac{1}{x} d x$

خطوة 3

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int_{1}^{8} x^{\frac{1}{3}} d x + \int_{1}^{8} - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{\frac{1}{3}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{8} + \int_{1}^{8} - \frac{1}{x} d x$

خطوة 5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{8} - \int_{1}^{8} \frac{1}{x} d x$

خطوة 6

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{8} - (\ln (| x |)]_{1}^{8})$

خطوة 7

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

احسِب قيمة $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ في $8$ وفي $1$ .

$(\frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| x |)]_{1}^{8})$

خطوة 7.1.2

احسِب قيمة $\ln (| x |)$ في $8$ وفي $1$ .

$\frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 7.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.3.1

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{3}$ .

$\frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 7.1.3.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 7.1.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 7.1.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3}{4} \cdot 2^{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 7.1.3.4

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$\frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 7.1.3.5

اجمع $\frac{3}{4}$ و $16$ .

$\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 7.1.3.6

اضرب $3$ في $16$ .

$\frac{48}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 7.1.3.7

احذِف العامل المشترك لـ $48$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.3.7.1

أخرِج العامل $4$ من $48$ .

$\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 7.1.3.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.3.7.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 7.1.3.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 7.1.3.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{12}{1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 7.1.3.7.2.4

اقسِم $12$ على $1$ .

$12 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 7.1.3.8

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$12 - \frac{3}{4} \cdot 1 - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 7.1.3.9

اضرب $- 1$ في $1$ .

$12 - \frac{3}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 7.1.3.10

لكتابة $12$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$12 \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 7.1.3.11

اجمع $12$ و $\frac{4}{4}$ .

$\frac{12 \cdot 4}{4} - \frac{3}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 7.1.3.12

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{12 \cdot 4 - 3}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 7.1.3.13

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.3.13.1

اضرب $12$ في $4$ .

$\frac{48 - 3}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 7.1.3.13.2

اطرح $3$ من $48$ .

$\frac{45}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 7.1.3.14

لكتابة $- (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$\frac{45}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |)) \cdot \frac{4}{4}$

خطوة 7.1.3.15

اجمع $- (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$ و $\frac{4}{4}$ .

$\frac{45}{4} + \frac{- (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 4}{4}$

خطوة 7.1.3.16

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{45 - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 4}{4}$

خطوة 7.1.3.17

اضرب $4$ في $- 1$ .

$\frac{45 - 4 (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))}{4}$

خطوة 7.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{45 - 4 \ln (\frac{| 8 |}{| 1 |})}{4}$

خطوة 7.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $8$ تساوي $8$ .

$\frac{45 - 4 \ln (\frac{8}{| 1 |})}{4}$

خطوة 7.3.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{45 - 4 \ln (\frac{8}{1})}{4}$

خطوة 7.3.3

اقسِم $8$ على $1$ .

$\frac{45 - 4 \ln (8)}{4}$

خطوة 8

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{45 - 4 \ln (8)}{4}$

الصيغة العشرية:

$9.17055845 \dots$

خطوة 9