حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$1 + \tan^{2} (\frac{x}{2})$

خطوة 1

اكتب $1 + \tan^{2} (\frac{x}{2})$ في صورة دالة.

$f (x) = 1 + \tan^{2} (\frac{x}{2})$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int 1 + \tan^{2} (\frac{x}{2}) d x$

خطوة 4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int d x + \int \tan^{2} (\frac{x}{2}) d x$

خطوة 5

طبّق قاعدة الثابت.

$x + C + \int \tan^{2} (\frac{x}{2}) d x$

خطوة 6

لنفترض أن $u = \frac{x}{2}$ . إذن $d u = \frac{1}{2} d x$ ، لذا $2 d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افترض أن $u = \frac{x}{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد مشتقة $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

خطوة 6.1.2

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 6.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

خطوة 6.1.4

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$\frac{1}{2}$

خطوة 6.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$x + C + \int \tan^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{2}$ .

$x + C + \int \tan^{2} (u) (1 \cdot 2) d u$

خطوة 7.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x + C + \int \tan^{2} (u) \cdot 2 d u$

خطوة 7.3

انقُل $2$ إلى يسار $\tan^{2} (u)$ .

$x + C + \int 2 \tan^{2} (u) d u$

خطوة 8

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$x + C + 2 \int \tan^{2} (u) d u$

خطوة 9

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\tan^{2} (u)$ بحيث تصبح $- 1 + \sec^{2} (u)$ .

$x + C + 2 \int - 1 + \sec^{2} (u) d u$

خطوة 10

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$x + C + 2 (\int - 1 d u + \int \sec^{2} (u) d u)$

خطوة 11

طبّق قاعدة الثابت.

$x + C + 2 (- u + C + \int \sec^{2} (u) d u)$

خطوة 12

بما أن مشتق $\tan (u)$ هو $\sec^{2} (u)$ ، إذن تكامل $\sec^{2} (u)$ هو $\tan (u)$ .

$x + C + 2 (- u + C + \tan (u) + C)$

خطوة 13

بسّط.

$x - 2 u + 2 \tan (u) + C$

خطوة 14

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x}{2}$ .

$x - 2 \frac{x}{2} + 2 \tan (\frac{x}{2}) + C$

خطوة 15

أعِد ترتيب الحدود.

$x - 2 (\frac{1}{2}) x + 2 \tan (\frac{1}{2} x) + C$

خطوة 16

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = 1 + \tan^{2} (\frac{x}{2})$ .

$F (x) =$ $x - 2 (\frac{1}{2}) x + 2 \tan (\frac{1}{2} x) + C$