حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{\ln (\sqrt{x})}{x}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = \ln (x^{\frac{1}{2}})$ و $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{2}})] - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 3.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4

اجمع $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ و $x$ .

$\frac{\frac{x}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 5

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 6

اضرب $x$ في $x^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $x$ في $x^{- \frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 6.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x^{1 - \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 6.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 6.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{x^{\frac{2 - 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 6.4

اطرح $1$ من $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 8

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 9

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 10

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 11

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 11.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 12

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 13

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 14

اجمع $x^{\frac{1}{2}}$ و $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 15

اضرب $x^{\frac{1}{2}}$ في $x^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 15.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\frac{x^{\frac{1 - 1}{2}}}{2} - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 15.3

اطرح $1$ من $1$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{0}{2}}}{2} - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 15.4

اقسِم $0$ على $2$ .

$\frac{\frac{x^{0}}{2} - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 16

بسّط $x^{0}$ .

$\frac{\frac{1}{2} - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 17

اضرب $\frac{\frac{1}{2} - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$ في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 18

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

اجمع.

$\frac{2 (\frac{1}{2} - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])}{2 x^{2}}$

خطوة 18.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 (\frac{1}{2}) + 2 (- \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])}{2 x^{2}}$

خطوة 18.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (\frac{1}{2}) + 2 (- \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])}{2 x^{2}}$

خطوة 18.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 + 2 (- \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])}{2 x^{2}}$

خطوة 18.4

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1 - 2 (\ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])}{2 x^{2}}$

خطوة 19

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1 - 2 \ln (x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1}{2 x^{2}}$

خطوة 20

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.1

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\frac{1 - 2 \ln (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{2}}$

خطوة 20.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.2.1

بسّط $- 2 \ln (x^{\frac{1}{2}})$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{1 - \ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2})}{2 x^{2}}$

خطوة 20.2.2

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1 - \ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2 x^{2}}$

خطوة 20.2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 - \ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2 x^{2}}$

خطوة 20.2.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 - \ln (x^{1})}{2 x^{2}}$

خطوة 20.2.3

بسّط.

$\frac{1 - \ln (x)}{2 x^{2}}$