حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x y - x^{3} = 2 y^{3}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x y - x^{3}) = \frac{d}{d x} (2 y^{3})$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x y - x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

خطوة 2.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

خطوة 2.2.4

اضرب $y$ في $1$ .

$x y' + y + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x y' + y - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$x y' + y - (3 x^{2})$

خطوة 2.3.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$x y' + y - 3 x^{2}$

خطوة 2.4

أعِد ترتيب الحدود.

$- 3 x^{2} + x y' + y$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$2 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.3

اضرب $3$ في $2$ .

$6 (y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$6 y^{2} y'$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$- 3 x^{2} + x y' + y = 6 y^{2} y'$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اطرح $6 y^{2} y'$ من كلا المتعادلين.

$- 3 x^{2} + x y' + y - 6 y^{2} y' = 0$

خطوة 5.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أضف $3 x^{2}$ إلى كلا المتعادلين.

$x y' + y - 6 y^{2} y' = 3 x^{2}$

خطوة 5.2.2

اطرح $y$ من كلا المتعادلين.

$x y' - 6 y^{2} y' = 3 x^{2} - y$

خطوة 5.3

أخرِج العامل $y'$ من $x y' - 6 y^{2} y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أخرِج العامل $y'$ من $x y'$ .

$y' x - 6 y^{2} y' = 3 x^{2} - y$

خطوة 5.3.2

أخرِج العامل $y'$ من $- 6 y^{2} y'$ .

$y' (x) + y' (- 6 y^{2}) = 3 x^{2} - y$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' (x) + y' (- 6 y^{2})$ .

$y' (x - 6 y^{2}) = 3 x^{2} - y$

خطوة 5.4

اقسِم كل حد في $y' (x - 6 y^{2}) = 3 x^{2} - y$ على $x - 6 y^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اقسِم كل حد في $y' (x - 6 y^{2}) = 3 x^{2} - y$ على $x - 6 y^{2}$ .

$\frac{y' (x - 6 y^{2})}{x - 6 y^{2}} = \frac{3 x^{2}}{x - 6 y^{2}} + \frac{- y}{x - 6 y^{2}}$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 6 y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (x - 6 y^{2})}{x - 6 y^{2}} = \frac{3 x^{2}}{x - 6 y^{2}} + \frac{- y}{x - 6 y^{2}}$

خطوة 5.4.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{x - 6 y^{2}} + \frac{- y}{x - 6 y^{2}}$

خطوة 5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{3 x^{2} - y}{x - 6 y^{2}}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} - y}{x - 6 y^{2}}$