حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int 5 {(3 - \cos^{2} (x))}^{- 6} \sin (2 x) d x$

خطوة 1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$5 \int {(3 - \cos^{2} (x))}^{- 6} \sin (2 x) d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u_{2} = 3 - \cos^{2} (x)$ . إذن $d u_{2} = \sin (2 x) d x$ ، لذا $\frac{1}{\sin (2 x)} d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u_{2} = 3 - \cos^{2} (x)$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $3 - \cos^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d x} [3 - \cos^{2} (x)]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 - \cos^{2} (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

خطوة 2.1.2.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \cos^{2} (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\cos (x)$ .

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

خطوة 2.1.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 - (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

خطوة 2.1.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\cos (x)$ .

$0 - (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

خطوة 2.1.3.3

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$0 - (2 \cos (x) (- \sin (x)))$

خطوة 2.1.3.4

اضرب $- 1$ في $2$ .

$0 - (- 2 \cos (x) \sin (x))$

خطوة 2.1.3.5

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$0 + 2 \cos (x) \sin (x)$

خطوة 2.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

أضف $0$ و $2 \cos (x) \sin (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x)$

خطوة 2.1.4.2

أعِد ترتيب $2 \cos (x)$ و $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x))$

خطوة 2.1.4.3

أعِد ترتيب $\sin (x)$ و $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

خطوة 2.1.4.4

طبّق متطابقة ضعف الزاوية للجيب.

$\sin (2 x)$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$5 \int {u_{2}}^{- 6} d u_{2}$

خطوة 3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{2}}^{- 6}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $- \frac{1}{5} {u_{2}}^{- 5}$ .

$5 (- \frac{1}{5} {u_{2}}^{- 5} + C)$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

اجمع ${u_{2}}^{- 5}$ و $\frac{1}{5}$ .

$5 (- \frac{{u_{2}}^{- 5}}{5} + C)$

خطوة 4.1.2

انقُل ${u_{2}}^{- 5}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (- \frac{1}{5 {u_{2}}^{5}} + C)$

خطوة 4.2

بسّط.

$5 (- \frac{1}{5 {u_{2}}^{5}}) + C$

خطوة 4.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اضرب $- 1$ في $5$ .

$- 5 \frac{1}{5 {u_{2}}^{5}} + C$

خطوة 4.3.2

اجمع $- 5$ و $\frac{1}{5 {u_{2}}^{5}}$ .

$\frac{- 5}{5 {u_{2}}^{5}} + C$

خطوة 4.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $- 5$ و $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

أخرِج العامل $5$ من $- 5$ .

$\frac{5 \cdot - 1}{5 {u_{2}}^{5}} + C$

خطوة 4.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.2.1

أخرِج العامل $5$ من $5 {u_{2}}^{5}$ .

$\frac{5 \cdot - 1}{5 ({u_{2}}^{5})} + C$

خطوة 4.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 \cdot - 1}{5 {u_{2}}^{5}} + C$

خطوة 4.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1}{{u_{2}}^{5}} + C$

خطوة 4.3.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{{u_{2}}^{5}} + C$

خطوة 5

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $3 - \cos^{2} (x)$ .

$- \frac{1}{{(3 - \cos^{2} (x))}^{5}} + C$