حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$

خطوة 1

اكتب $e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$ في صورة دالة.

$f (x) = e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{- x}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $- x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

خطوة 2.1.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

خطوة 2.1.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $- x$ .

$f' (x) = e^{- x} \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

خطوة 2.1.2.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{- x} (- \frac{d}{d x} x) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

خطوة 2.1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

خطوة 2.1.2.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f' (x) = e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

خطوة 2.1.2.5

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- x}$ .

$f' (x) = - 1 \cdot e^{- x} + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

خطوة 2.1.2.6

أعِد كتابة $- 1 e^{- x}$ بالصيغة $- e^{- x}$ .

$f' (x) = - e^{- x} + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x e^{- x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 \frac{d}{d x} (x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = e^{- x}$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

خطوة 2.1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $- x$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

خطوة 2.1.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

خطوة 2.1.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $- x$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

خطوة 2.1.3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

خطوة 2.1.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

خطوة 2.1.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

خطوة 2.1.3.7

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

خطوة 2.1.3.8

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- x}$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

خطوة 2.1.3.9

أعِد كتابة $- 1 e^{- x}$ بالصيغة $- e^{- x}$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

خطوة 2.1.3.10

اضرب $e^{- x}$ في $1$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

خطوة 2.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = e^{- x}$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

خطوة 2.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{3}$ لتصبح $- x$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (\frac{d}{d u (3)} (e^{u_{3}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

خطوة 2.1.4.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ هو $a^{u_{3}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

خطوة 2.1.4.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{3}$ بـ $- x$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

خطوة 2.1.4.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

خطوة 2.1.4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

خطوة 2.1.4.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (2 x)$

خطوة 2.1.4.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (2 x)$

خطوة 2.1.4.7

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- x}$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

خطوة 2.1.4.8

أعِد كتابة $- 1 e^{- x}$ بالصيغة $- e^{- x}$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

خطوة 2.1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x})) + 2 e^{- x} + x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

خطوة 2.1.5.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.2.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f' (x) = - e^{- x} - 2 (x (e^{- x})) + 2 e^{- x} + x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

خطوة 2.1.5.2.2

أضف $- e^{- x}$ و $2 e^{- x}$ .

$f' (x) = - 2 x e^{- x} + e^{- x} + x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

خطوة 2.1.5.2.3

أضف $- 2 x e^{- x}$ و $e^{- x} (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.2.3.1

انقُل $e^{- x}$ .

$f' (x) = e^{- x} + x^{2} (- e^{- x}) - 2 x e^{- x} + 2 x e^{- x}$

خطوة 2.1.5.2.3.2

أضف $- 2 x e^{- x}$ و $2 x e^{- x}$ .

$f' (x) = e^{- x} + x^{2} (- e^{- x}) + 0$

خطوة 2.1.5.2.4

أضف $e^{- x} + x^{2} (- e^{- x})$ و $0$ .

$f' (x) = e^{- x} + x^{2} (- e^{- x})$

خطوة 2.1.5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = - e^{- x} x^{2} + e^{- x}$

خطوة 2.1.5.4

أعِد ترتيب العوامل في $- e^{- x} x^{2} + e^{- x}$ .

$f' (x) = - x^{2} e^{- x} + e^{- x}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- x^{2} e^{- x} + e^{- x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- x^{2} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{2} e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

خطوة 2.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{2} e^{- x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2} e^{- x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

خطوة 2.2.2.2

$f'' (x) = - (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

خطوة 2.2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $- x$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

خطوة 2.2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

خطوة 2.2.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $- x$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

خطوة 2.2.2.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

خطوة 2.2.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

خطوة 2.2.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

خطوة 2.2.2.7

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

خطوة 2.2.2.8

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

خطوة 2.2.2.9

أعِد كتابة $- 1 e^{- x}$ بالصيغة $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

خطوة 2.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $- x$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x)$

خطوة 2.2.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x)$

خطوة 2.2.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $- x$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)$

خطوة 2.2.3.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)$

خطوة 2.2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

خطوة 2.2.3.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + e^{- x} \cdot - 1$

خطوة 2.2.3.5

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) - 1 \cdot e^{- x}$

خطوة 2.2.3.6

أعِد كتابة $- 1 e^{- x}$ بالصيغة $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) - e^{- x}$

خطوة 2.2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x})) - (e^{- x} (2 x)) - e^{- x}$

خطوة 2.2.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (x^{2} (e^{- x})) - (e^{- x} (2 x)) - e^{- x}$

خطوة 2.2.4.2.2

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{- x} - (e^{- x} (2 x)) - e^{- x}$

خطوة 2.2.4.2.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{- x} - 2 e^{- x} x - e^{- x}$

خطوة 2.2.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f'' (x) = e^{- x} x^{2} - 2 e^{- x} x - e^{- x}$

خطوة 2.2.4.4

أعِد ترتيب العوامل في $e^{- x} x^{2} - 2 e^{- x} x - e^{- x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - e^{- x}$

خطوة 2.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - e^{- x}$ .

$x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - e^{- x}$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - e^{- x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - e^{- x} = 0$

خطوة 3.2

أخرِج العامل $e^{- x}$ من $x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - e^{- x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أخرِج العامل $e^{- x}$ من $x^{2} e^{- x}$ .

$e^{- x} x^{2} - 2 x e^{- x} - e^{- x} = 0$

خطوة 3.2.2

أخرِج العامل $e^{- x}$ من $- 2 x e^{- x}$ .

$e^{- x} x^{2} + e^{- x} (- 2 x) - e^{- x} = 0$

خطوة 3.2.3

أخرِج العامل $e^{- x}$ من $- e^{- x}$ .

$e^{- x} x^{2} + e^{- x} (- 2 x) + e^{- x} \cdot - 1 = 0$

خطوة 3.2.4

أخرِج العامل $e^{- x}$ من $e^{- x} x^{2} + e^{- x} (- 2 x)$ .

$e^{- x} (x^{2} - 2 x) + e^{- x} \cdot - 1 = 0$

خطوة 3.2.5

أخرِج العامل $e^{- x}$ من $e^{- x} (x^{2} - 2 x) + e^{- x} \cdot - 1$ .

$e^{- x} (x^{2} - 2 x - 1) = 0$

خطوة 3.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$e^{- x} = 0$

$x^{2} - 2 x - 1 = 0$

خطوة 3.4

عيّن قيمة العبارة $e^{- x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

عيّن قيمة $e^{- x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$e^{- x} = 0$

خطوة 3.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $e^{- x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

خطوة 3.4.2.2

لا يمكن حل المعادلة لأن $\ln (0)$ غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 3.4.2.3

لا يوجد حل لـ $e^{- x} = 0$

لا يوجد حل

خطوة 3.5

عيّن قيمة العبارة $x^{2} - 2 x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

عيّن قيمة $x^{2} - 2 x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} - 2 x - 1 = 0$

خطوة 3.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 3.5.2.2

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = - 2$ و $c = - 1$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.3.1.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.2.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.2.3.1.2.2

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.2.3.1.3

أضف $4$ و $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.2.3.1.4

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.3.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.2.3.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.2.3.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.2.3.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

خطوة 3.5.2.3.3

بسّط $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

خطوة 3.5.2.4

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.4.1.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.2.4.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.4.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.2.4.1.2.2

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.2.4.1.3

أضف $4$ و $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.2.4.1.4

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.4.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.2.4.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.2.4.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.2.4.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

خطوة 3.5.2.4.3

بسّط $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

خطوة 3.5.2.4.4

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$x = 1 + \sqrt{2}$

خطوة 3.5.2.5

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.5.1.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.2.5.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.5.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.2.5.1.2.2

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.2.5.1.3

أضف $4$ و $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.2.5.1.4

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.5.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.2.5.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.2.5.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.2.5.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

خطوة 3.5.2.5.3

بسّط $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

خطوة 3.5.2.5.4

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$x = 1 - \sqrt{2}$

خطوة 3.5.2.6

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

خطوة 3.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $e^{- x} (x^{2} - 2 x - 1) = 0$ صحيحة.

$x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

خطوة 4

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $1 + \sqrt{2}$ في $f (x) = e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1 + \sqrt{2}$ في العبارة.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- (1 + \sqrt{2})} + 2 (1 + \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 + \sqrt{2})} + {(1 + \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 + \sqrt{2})}$

خطوة 4.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 \cdot 1 - \sqrt{2}} + 2 (1 + \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 + \sqrt{2})} + {(1 + \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 + \sqrt{2})}$

خطوة 4.1.2.1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 (1 + \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 + \sqrt{2})} + {(1 + \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 + \sqrt{2})}$

خطوة 4.1.2.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + (2 \cdot 1 + 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 + \sqrt{2})} + {(1 + \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 + \sqrt{2})}$

خطوة 4.1.2.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + (2 + 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 + \sqrt{2})} + {(1 + \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 + \sqrt{2})}$

خطوة 4.1.2.1.5

طبّق خاصية التوزيع.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + (2 + 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- 1 \cdot 1 - \sqrt{2}} + {(1 + \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 + \sqrt{2})}$

خطوة 4.1.2.1.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + (2 + 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- 1 - \sqrt{2}} + {(1 + \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 + \sqrt{2})}$

خطوة 4.1.2.1.7

طبّق خاصية التوزيع.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + {(1 + \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 + \sqrt{2})}$

خطوة 4.1.2.1.8

أعِد كتابة ${(1 + \sqrt{2})}^{2}$ بالصيغة $(1 + \sqrt{2}) (1 + \sqrt{2})$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 + \sqrt{2}) (1 + \sqrt{2}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

خطوة 4.1.2.1.9

وسّع $(1 + \sqrt{2}) (1 + \sqrt{2})$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.9.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 (1 + \sqrt{2}) + \sqrt{2} (1 + \sqrt{2})) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

خطوة 4.1.2.1.9.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 \cdot 1 + 1 \sqrt{2} + \sqrt{2} (1 + \sqrt{2})) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

خطوة 4.1.2.1.9.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 \cdot 1 + 1 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

خطوة 4.1.2.1.10

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.10.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.10.1.1

اضرب $1$ في $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 + 1 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

خطوة 4.1.2.1.10.1.2

اضرب $\sqrt{2}$ في $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

خطوة 4.1.2.1.10.1.3

اضرب $\sqrt{2}$ في $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

خطوة 4.1.2.1.10.1.4

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

خطوة 4.1.2.1.10.1.5

اضرب $2$ في $2$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{4}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

خطوة 4.1.2.1.10.1.6

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

خطوة 4.1.2.1.10.1.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 2) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

خطوة 4.1.2.1.10.2

أضف $1$ و $2$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

خطوة 4.1.2.1.10.3

أضف $\sqrt{2}$ و $\sqrt{2}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (3 + 2 \sqrt{2}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

خطوة 4.1.2.1.11

طبّق خاصية التوزيع.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (3 + 2 \sqrt{2}) e^{- 1 \cdot 1 - \sqrt{2}}$

خطوة 4.1.2.1.12

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (3 + 2 \sqrt{2}) e^{- 1 - \sqrt{2}}$

خطوة 4.1.2.1.13

طبّق خاصية التوزيع.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 3 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}}$

خطوة 4.1.2.2

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

أضف $e^{- 1 - \sqrt{2}}$ و $2 e^{- 1 - \sqrt{2}}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 3 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 3 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}}$

خطوة 4.1.2.2.2

أضف $3 e^{- 1 - \sqrt{2}}$ و $3 e^{- 1 - \sqrt{2}}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}}$

خطوة 4.1.2.2.3

أضف $2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}}$ و $2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}}$

خطوة 4.1.2.3

الإجابة النهائية هي $4 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}}$ .

$4 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}}$

خطوة 4.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $1 + \sqrt{2}$ في $f (x) = e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$ هي $(1 + \sqrt{2}, 4 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(1 + \sqrt{2}, 4 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}})$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $1 - \sqrt{2}$ في $f (x) = e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1 - \sqrt{2}$ في العبارة.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- (1 - \sqrt{2})} + 2 (1 - \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 - \sqrt{2})} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

خطوة 4.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 \cdot 1 + \sqrt{2}} + 2 (1 - \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 - \sqrt{2})} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

خطوة 4.3.2.1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 (1 - \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 - \sqrt{2})} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

خطوة 4.3.2.1.3

اضرب $- - \sqrt{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + 1 \sqrt{2}} + 2 (1 - \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 - \sqrt{2})} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

خطوة 4.3.2.1.3.2

اضرب $\sqrt{2}$ في $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 (1 - \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 - \sqrt{2})} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

خطوة 4.3.2.1.4

طبّق خاصية التوزيع.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + (2 \cdot 1 + 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- (1 - \sqrt{2})} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

خطوة 4.3.2.1.5

اضرب $2$ في $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + (2 + 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- (1 - \sqrt{2})} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

خطوة 4.3.2.1.6

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + (2 - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 - \sqrt{2})} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

خطوة 4.3.2.1.7

طبّق خاصية التوزيع.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + (2 - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- 1 \cdot 1 + \sqrt{2}} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

خطوة 4.3.2.1.8

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + (2 - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- 1 + \sqrt{2}} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

خطوة 4.3.2.1.9

اضرب $- - \sqrt{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.9.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + (2 - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- 1 + 1 \sqrt{2}} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

خطوة 4.3.2.1.9.2

اضرب $\sqrt{2}$ في $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + (2 - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- 1 + \sqrt{2}} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

خطوة 4.3.2.1.10

طبّق خاصية التوزيع.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

خطوة 4.3.2.1.11

أعِد كتابة ${(1 - \sqrt{2})}^{2}$ بالصيغة $(1 - \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2})$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

خطوة 4.3.2.1.12

وسّع $(1 - \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2})$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.12.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 (1 - \sqrt{2}) - \sqrt{2} (1 - \sqrt{2})) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

خطوة 4.3.2.1.12.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (1 - \sqrt{2})) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

خطوة 4.3.2.1.12.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \cdot 1 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

خطوة 4.3.2.1.13

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.13.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.13.1.1

اضرب $1$ في $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 + 1 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \cdot 1 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

خطوة 4.3.2.1.13.1.2

اضرب $- \sqrt{2}$ في $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot 1 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

خطوة 4.3.2.1.13.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

خطوة 4.3.2.1.13.1.4

اضرب $- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.13.1.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1 \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

خطوة 4.3.2.1.13.1.4.2

اضرب $\sqrt{2}$ في $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

خطوة 4.3.2.1.13.1.4.3

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

خطوة 4.3.2.1.13.1.4.4

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

خطوة 4.3.2.1.13.1.4.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{1 + 1}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

خطوة 4.3.2.1.13.1.4.6

أضف $1$ و $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

خطوة 4.3.2.1.13.1.5

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.13.1.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

خطوة 4.3.2.1.13.1.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

خطوة 4.3.2.1.13.1.5.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2^{\frac{2}{2}}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

خطوة 4.3.2.1.13.1.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.13.1.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2^{\frac{2}{2}}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

خطوة 4.3.2.1.13.1.5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

خطوة 4.3.2.1.13.1.5.5

احسِب قيمة الأُس.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

خطوة 4.3.2.1.13.2

أضف $1$ و $2$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (3 - \sqrt{2} - \sqrt{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

خطوة 4.3.2.1.13.3

اطرح $\sqrt{2}$ من $- \sqrt{2}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (3 - 2 \sqrt{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

خطوة 4.3.2.1.14

طبّق خاصية التوزيع.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (3 - 2 \sqrt{2}) e^{- 1 \cdot 1 + \sqrt{2}}$

خطوة 4.3.2.1.15

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (3 - 2 \sqrt{2}) e^{- 1 + \sqrt{2}}$

خطوة 4.3.2.1.16

اضرب $- - \sqrt{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.16.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (3 - 2 \sqrt{2}) e^{- 1 + 1 \sqrt{2}}$

خطوة 4.3.2.1.16.2

اضرب $\sqrt{2}$ في $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (3 - 2 \sqrt{2}) e^{- 1 + \sqrt{2}}$

خطوة 4.3.2.1.17

طبّق خاصية التوزيع.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 3 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}}$

خطوة 4.3.2.2

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

أضف $e^{- 1 + \sqrt{2}}$ و $2 e^{- 1 + \sqrt{2}}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 3 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 3 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}}$

خطوة 4.3.2.2.2

أضف $3 e^{- 1 + \sqrt{2}}$ و $3 e^{- 1 + \sqrt{2}}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}}$

خطوة 4.3.2.2.3

اطرح $2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}}$ من $- 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}}$

خطوة 4.3.2.3

الإجابة النهائية هي $- 4 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}}$ .

$- 4 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}}$

خطوة 4.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $1 - \sqrt{2}$ في $f (x) = e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$ هي $(1 - \sqrt{2}, - 4 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(1 - \sqrt{2}, - 4 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}})$

خطوة 4.5

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(1 + \sqrt{2}, 4 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}}), (1 - \sqrt{2}, - 4 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}})$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, 1 - \sqrt{2}) \cup (1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2}) \cup (1 + \sqrt{2}, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 1 - \sqrt{2})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.51421356$ في العبارة.

$f'' (- 0.51421356) = {(- 0.51421356)}^{2} e^{- (- 0.51421356)} - 2 \cdot - 0.51421356 \cdot e^{- (- 0.51421356)} - e^{- (- 0.51421356)}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $- 0.51421356$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 0.51421356) = 0.26441558 e^{- (- 0.51421356)} - 2 \cdot - 0.51421356 \cdot e^{- (- 0.51421356)} - e^{- (- 0.51421356)}$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $- 1$ في $- 0.51421356$ .

$f'' (- 0.51421356) = 0.26441558 e^{0.51421356} - 2 \cdot - 0.51421356 \cdot e^{- (- 0.51421356)} - e^{- (- 0.51421356)}$

خطوة 6.2.1.3

اضرب $0.26441558$ في $e^{0.51421356}$ .

$f'' (- 0.51421356) = 0.44218821 - 2 \cdot - 0.51421356 \cdot e^{- (- 0.51421356)} - e^{- (- 0.51421356)}$

خطوة 6.2.1.4

اضرب $- 2$ في $- 0.51421356$ .

$f'' (- 0.51421356) = 0.44218821 + 1.02842712 \cdot e^{- (- 0.51421356)} - e^{- (- 0.51421356)}$

خطوة 6.2.1.5

اضرب $- 1$ في $- 0.51421356$ .

$f'' (- 0.51421356) = 0.44218821 + 1.02842712 \cdot e^{0.51421356} - e^{- (- 0.51421356)}$

خطوة 6.2.1.6

اضرب $1.02842712$ في $e^{0.51421356}$ .

$f'' (- 0.51421356) = 0.44218821 + 1.71986213 - e^{- (- 0.51421356)}$

خطوة 6.2.1.7

اضرب $- 1$ في $- 0.51421356$ .

$f'' (- 0.51421356) = 0.44218821 + 1.71986213 - e^{0.51421356}$

خطوة 6.2.2

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

أضف $0.44218821$ و $1.71986213$ .

$f'' (- 0.51421356) = 2.16205035 - e^{0.51421356}$

خطوة 6.2.2.2

اطرح $e^{0.51421356}$ من $2.16205035$ .

$f'' (- 0.51421356) = 0.48972754$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $0.48972754$ .

$0.48972754$

خطوة 6.3

في $- 0.51421356$ ، المشتق الثاني هو $0.48972754$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \infty, 1 - \sqrt{2})$ .

تزايد خلال $(- \infty, 1 - \sqrt{2})$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f'' (1) = {(1)}^{2} e^{- (1)} - 2 \cdot 1 \cdot e^{- (1)} - e^{- (1)}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (1) = 1 e^{- (1)} - 2 \cdot 1 \cdot e^{- (1)} - e^{- (1)}$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $e^{- (1)}$ في $1$ .

$f'' (1) = e^{- (1)} - 2 \cdot 1 \cdot e^{- (1)} - e^{- (1)}$

خطوة 7.2.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f'' (1) = e^{- 1} - 2 \cdot 1 \cdot e^{- (1)} - e^{- (1)}$

خطوة 7.2.1.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - 2 \cdot 1 \cdot e^{- (1)} - e^{- (1)}$

خطوة 7.2.1.5

اضرب $- 2$ في $1$ .

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - 2 \cdot e^{- (1)} - e^{- (1)}$

خطوة 7.2.1.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - 2 \cdot e^{- 1} - e^{- (1)}$

خطوة 7.2.1.7

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - 2 \cdot \frac{1}{e^{1}} - e^{- (1)}$

خطوة 7.2.1.8

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{e^{1}}$ .

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} + \frac{- 2}{e^{1}} - e^{- (1)}$

خطوة 7.2.1.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - \frac{2}{e^{1}} - e^{- (1)}$

خطوة 7.2.1.10

استبدِل $e$ بقيمة تقريبية.

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - \frac{2}{{2.71828182}^{1}} - e^{- (1)}$

خطوة 7.2.1.11

ارفع $2.71828182$ إلى القوة $1$ .

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - \frac{2}{2.71828182} - e^{- (1)}$

خطوة 7.2.1.12

اقسِم $2$ على $2.71828182$ .

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - 1 \cdot 0.73575888 - e^{- (1)}$

خطوة 7.2.1.13

اضرب $- 1$ في $0.73575888$ .

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - 0.73575888 - e^{- (1)}$

خطوة 7.2.1.14

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - 0.73575888 - e^{- 1}$

خطوة 7.2.1.15

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - 0.73575888 - \frac{1}{e^{1}}$

خطوة 7.2.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (1) = - 0.73575888 + \frac{1 - 1}{e^{1}}$

خطوة 7.2.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.2.1

اطرح $1$ من $1$ .

$f'' (1) = - 0.73575888 + \frac{0}{e^{1}}$

خطوة 7.2.2.2.2

اقسِم $0$ على $e^{1}$ .

$f'' (1) = - 0.73575888 + 0$

خطوة 7.2.2.2.3

أضف $- 0.73575888$ و $0$ .

$f'' (1) = - 0.73575888$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $- 0.73575888$ .

$- 0.73575888$

خطوة 7.3

المشتق الثاني عند $1$ يساوي $- 0.73575888$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2})$

تناقص خلال $(1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2})$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(1 + \sqrt{2}, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2.51421356$ في العبارة.

$f'' (2.51421356) = {(2.51421356)}^{2} e^{- (2.51421356)} - 2 \cdot 2.51421356 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ارفع $2.51421356$ إلى القوة $2$ .

$f'' (2.51421356) = 6.32126983 e^{- (2.51421356)} - 2 \cdot 2.51421356 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

خطوة 8.2.1.2

اضرب $- 1$ في $2.51421356$ .

$f'' (2.51421356) = 6.32126983 e^{- 2.51421356} - 2 \cdot 2.51421356 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

خطوة 8.2.1.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (2.51421356) = 6.32126983 (\frac{1}{e^{2.51421356}}) - 2 \cdot 2.51421356 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

خطوة 8.2.1.4

اجمع $6.32126983$ و $\frac{1}{e^{2.51421356}}$ .

$f'' (2.51421356) = \frac{6.32126983}{e^{2.51421356}} - 2 \cdot 2.51421356 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

خطوة 8.2.1.5

استبدِل $e$ بقيمة تقريبية.

$f'' (2.51421356) = \frac{6.32126983}{{2.71828182}^{2.51421356}} - 2 \cdot 2.51421356 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

خطوة 8.2.1.6

ارفع $2.71828182$ إلى القوة $2.51421356$ .

$f'' (2.51421356) = \frac{6.32126983}{12.35688703} - 2 \cdot 2.51421356 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

خطوة 8.2.1.7

اقسِم $6.32126983$ على $12.35688703$ .

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - 2 \cdot 2.51421356 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

خطوة 8.2.1.8

اضرب $- 2$ في $2.51421356$ .

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - 5.02842712 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

خطوة 8.2.1.9

اضرب $- 1$ في $2.51421356$ .

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - 5.02842712 \cdot e^{- 2.51421356} - e^{- (2.51421356)}$

خطوة 8.2.1.10

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - 5.02842712 \cdot \frac{1}{e^{2.51421356}} - e^{- (2.51421356)}$

خطوة 8.2.1.11

اجمع $- 5.02842712$ و $\frac{1}{e^{2.51421356}}$ .

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 + \frac{- 5.02842712}{e^{2.51421356}} - e^{- (2.51421356)}$

خطوة 8.2.1.12

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - \frac{5.02842712}{e^{2.51421356}} - e^{- (2.51421356)}$

خطوة 8.2.1.13

استبدِل $e$ بقيمة تقريبية.

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - \frac{5.02842712}{{2.71828182}^{2.51421356}} - e^{- (2.51421356)}$

خطوة 8.2.1.14

ارفع $2.71828182$ إلى القوة $2.51421356$ .

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - \frac{5.02842712}{12.35688703} - e^{- (2.51421356)}$

خطوة 8.2.1.15

اقسِم $5.02842712$ على $12.35688703$ .

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - 1 \cdot 0.40693316 - e^{- (2.51421356)}$

خطوة 8.2.1.16

اضرب $- 1$ في $0.40693316$ .

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - 0.40693316 - e^{- (2.51421356)}$

خطوة 8.2.1.17

اضرب $- 1$ في $2.51421356$ .

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - 0.40693316 - e^{- 2.51421356}$

خطوة 8.2.1.18

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - 0.40693316 - \frac{1}{e^{2.51421356}}$

خطوة 8.2.2

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

اطرح $0.40693316$ من $0.51155843$ .

$f'' (2.51421356) = 0.10462527 - \frac{1}{e^{2.51421356}}$

خطوة 8.2.2.2

اطرح $\frac{1}{e^{2.51421356}}$ من $0.10462527$ .

$f'' (2.51421356) = 0.02369874$

خطوة 8.2.3

الإجابة النهائية هي $0.02369874$ .

$0.02369874$

خطوة 8.3

في $2.51421356$ ، المشتق الثاني هو $0.02369874$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(1 + \sqrt{2}, \infty)$ .

تزايد خلال $(1 + \sqrt{2}, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(1 - \sqrt{2}, - 4 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}}), (1 + \sqrt{2}, 4 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}})$ .

$(1 - \sqrt{2}, - 4 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}}), (1 + \sqrt{2}, 4 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}})$

خطوة 10