حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y^{x y}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة المعممة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ هو $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ حيث $f = y$ و $g = x y$ .

$\frac{d}{d x} [y] (x y \cdot y^{x y - 1}) + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

خطوة 2

اضرب $y$ في $y^{x y - 1}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

انقُل $y^{x y - 1}$ .

$\frac{d}{d x} [y] (x (y^{x y - 1} y)) + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

خطوة 2.2

اضرب $y^{x y - 1}$ في $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d}{d x} [y] (x (y^{x y - 1} y^{1})) + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

خطوة 2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{d}{d x} [y] (x y^{x y - 1 + 1}) + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

خطوة 2.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $x y - 1 + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أضف $- 1$ و $1$ .

$\frac{d}{d x} [y] (x y^{x y + 0}) + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

خطوة 2.3.2

أضف $x y$ و $0$ .

$\frac{d}{d x} [y] (x y^{x y}) + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

خطوة 3

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 (x y^{x y}) + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

خطوة 4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $x$ في $0$ .

$0 y^{x y} + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

خطوة 4.2

اضرب $0$ في $y^{x y}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

خطوة 4.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$ .

$\frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

خطوة 5

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{d}{d x} [x] (y^{x y} \ln (y))$

خطوة 6

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$y^{x y} y^{1} \frac{d}{d x} [x] \ln (y)$

خطوة 7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y^{x y + 1} \frac{d}{d x} [x] \ln (y)$

خطوة 8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$y^{x y + 1} \cdot 1 \ln (y)$

خطوة 9

اضرب $y^{x y + 1}$ في $1$ .

$y^{x y + 1} \ln (y)$