حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$e^{- 3 x} - 4 x + 50$

خطوة 1

اكتب $e^{- 3 x} - 4 x + 50$ في صورة دالة.

$f (x) = e^{- 3 x} - 4 x + 50$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int e^{- 3 x} - 4 x + 50 d x$

خطوة 4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int e^{- 3 x} d x + \int - 4 x d x + \int 50 d x$

خطوة 5

لنفترض أن $u = - 3 x$ . إذن $d u = - 3 d x$ ، لذا $- \frac{1}{3} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = - 3 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

خطوة 5.1.2

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

خطوة 5.1.4

اضرب $- 3$ في $1$ .

$- 3$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{- 3} d u + \int - 4 x d x + \int 50 d x$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int e^{u} (- \frac{1}{3}) d u + \int - 4 x d x + \int 50 d x$

خطوة 6.2

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{e^{u}}{3} d u + \int - 4 x d x + \int 50 d x$

خطوة 7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{e^{u}}{3} d u + \int - 4 x d x + \int 50 d x$

خطوة 8

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$- (\frac{1}{3} \int e^{u} d u) + \int - 4 x d x + \int 50 d x$

خطوة 9

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$- \frac{1}{3} (e^{u} + C) + \int - 4 x d x + \int 50 d x$

خطوة 10

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 4$ خارج التكامل.

$- \frac{1}{3} (e^{u} + C) - 4 \int x d x + \int 50 d x$

خطوة 11

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{3} (e^{u} + C) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 50 d x$

خطوة 12

طبّق قاعدة الثابت.

$- \frac{1}{3} (e^{u} + C) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 50 x + C$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$- \frac{1}{3} (e^{u} + C) - 4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 50 x + C$

خطوة 13.2

بسّط.

$- \frac{e^{u}}{3} - 2 x^{2} + 50 x + C$

خطوة 14

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- 3 x$ .

$- \frac{e^{- 3 x}}{3} - 2 x^{2} + 50 x + C$

خطوة 15

أعِد ترتيب الحدود.

$- \frac{1}{3} e^{- 3 x} - 2 x^{2} + 50 x + C$

خطوة 16

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = e^{- 3 x} - 4 x + 50$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{3} e^{- 3 x} - 2 x^{2} + 50 x + C$