حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{3}{\sqrt[3]{x + 3}}$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 2

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{3}{\sqrt[3]{x + 3}} d x$

خطوة 3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$3 \int \frac{1}{\sqrt[3]{x + 3}} d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u = x + 3$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = x + 3$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

خطوة 4.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 4.1.4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 4.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$3 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

خطوة 5

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{3}}$ .

$3 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

خطوة 5.2

انقُل $u^{\frac{1}{3}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$3 \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

خطوة 5.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

خطوة 5.3.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $- 1$ .

$3 \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

خطوة 5.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$3 \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{3}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$3 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أعِد كتابة $3 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$ بالصيغة $3 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C$ .

$3 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C$

خطوة 7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اجمع $3$ و $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

خطوة 7.2.2

اضرب $3$ في $3$ .

$\frac{9}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

خطوة 8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 3$ .

$\frac{9}{2} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} + C$

خطوة 9

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{3}{\sqrt[3]{x + 3}}$ .

$F (x) =$ $\frac{9}{2} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} + C$