حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$e^{\frac{- x}{2}}$

خطوة 1

اكتب $e^{\frac{- x}{2}}$ في صورة دالة.

$f (x) = e^{\frac{- x}{2}}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int e^{\frac{- x}{2}} d x$

خطوة 4

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int e^{- \frac{x}{2}} d x$

خطوة 5

لنفترض أن $u = - \frac{x}{2}$ . إذن $d u = - \frac{1}{2} d x$ ، لذا $- 2 d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = - \frac{x}{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $- \frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

خطوة 5.1.2

بما أن $- \frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{x}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 1$

خطوة 5.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{1}{2}$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\int - e^{u} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 6.2

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{2}$ .

$\int - e^{u} (1 \cdot 2) d u$

خطوة 6.3

اضرب $2$ في $1$ .

$\int - e^{u} \cdot 2 d u$

خطوة 6.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\int - 2 e^{u} d u$

خطوة 7

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$- 2 \int e^{u} d u$

خطوة 8

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$- 2 (e^{u} + C)$

خطوة 9

بسّط.

$- 2 e^{u} + C$

خطوة 10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- \frac{x}{2}$ .

$- 2 e^{- \frac{x}{2}} + C$

خطوة 11

أعِد ترتيب الحدود.

$- 2 e^{- \frac{1}{2} x} + C$

خطوة 12

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = e^{\frac{- x}{2}}$ .

$F (x) =$ $- 2 e^{- \frac{1}{2} x} + C$