حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \sqrt[3]{x^{2}} + 2 x$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\sqrt[3]{x^{2}} + 2 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{x^{2}}$ في صورة $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.2.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.2.4

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.2.6.2

اطرح $3$ من $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.2.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + 2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + 2 \cdot 1$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + 2$

خطوة 1.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} + 2$

خطوة 1.1.4.2

اضرب $\frac{2}{3}$ في $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 2$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 2$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 2$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 2 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 2 = 0$

خطوة 2.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = - 2$

خطوة 2.3

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$3 x^{\frac{1}{3}}, 1$

خطوة 2.3.2

المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.

$3 x^{\frac{1}{3}}$

خطوة 2.4

اضرب كل حد في $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = - 2$ في $3 x^{\frac{1}{3}}$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

اضرب كل حد في $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = - 2$ في $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

خطوة 2.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$3 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

خطوة 2.4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

خطوة 2.4.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

خطوة 2.4.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{\frac{1}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

خطوة 2.4.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

خطوة 2.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1

اضرب $3$ في $- 2$ .

$2 = - 6 x^{\frac{1}{3}}$

خطوة 2.5

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- 6 x^{\frac{1}{3}} = 2$ .

$- 6 x^{\frac{1}{3}} = 2$

خطوة 2.5.2

اقسِم كل حد في $- 6 x^{\frac{1}{3}} = 2$ على $- 6$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

اقسِم كل حد في $- 6 x^{\frac{1}{3}} = 2$ على $- 6$ .

$\frac{- 6 x^{\frac{1}{3}}}{- 6} = \frac{2}{- 6}$

خطوة 2.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 6 x^{\frac{1}{3}}}{- 6} = \frac{2}{- 6}$

خطوة 2.5.2.2.2

اقسِم $x^{\frac{1}{3}}$ على $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2}{- 6}$

خطوة 2.5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $- 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2 (1)}{- 6}$

خطوة 2.5.2.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.3.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 6$ .

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 3}$

خطوة 2.5.2.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 3}$

خطوة 2.5.2.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{- 3}$

خطوة 2.5.2.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$x^{\frac{1}{3}} = - \frac{1}{3}$

خطوة 2.5.3

ارفع كل متعادل إلى القوة $3$ لحذف الأُس الكسري في الطرف الأيسر.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- \frac{1}{3})}^{3}$

خطوة 2.5.4

بسّط الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.4.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.4.1.1

بسّط ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.4.1.1.1

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.4.1.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- \frac{1}{3})}^{3}$

خطوة 2.5.4.1.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.4.1.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- \frac{1}{3})}^{3}$

خطوة 2.5.4.1.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$x^{1} = {(- \frac{1}{3})}^{3}$

خطوة 2.5.4.1.1.2

بسّط.

$x = {(- \frac{1}{3})}^{3}$

خطوة 2.5.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.4.2.1

بسّط ${(- \frac{1}{3})}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.4.2.1.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.4.2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{1}{3}$ .

$x = {(- 1)}^{3} {(\frac{1}{3})}^{3}$

خطوة 2.5.4.2.1.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{3}$ .

$x = {(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{3^{3}}$

خطوة 2.5.4.2.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$x = - \frac{1^{3}}{3^{3}}$

خطوة 2.5.4.2.1.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$x = - \frac{1}{3^{3}}$

خطوة 2.5.4.2.1.4

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$x = - \frac{1}{27}$

خطوة 3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

حوّل العبارات ذات الأُسس الكسرية إلى جذور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

طبّق القاعدة $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ لإعادة كتابة الأُس في صورة جذر.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}} + 2$

خطوة 3.1.2

ناتج رفع أي عدد إلى $1$ يساوي الأساس نفسه.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} + 2$

خطوة 3.2

عيّن قيمة القاسم في $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، كعِّب كلا المتعادلين.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

خطوة 3.3.2

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

خطوة 3.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

بسّط ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

خطوة 3.3.2.2.1.2

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

خطوة 3.3.2.2.1.3

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

خطوة 3.3.2.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

خطوة 3.3.2.2.1.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$27 x^{1} = 0^{3}$

خطوة 3.3.2.2.1.4

بسّط.

$27 x = 0^{3}$

خطوة 3.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$27 x = 0$

خطوة 3.3.3

اقسِم كل حد في $27 x = 0$ على $27$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

اقسِم كل حد في $27 x = 0$ على $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

خطوة 3.3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $27$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

خطوة 3.3.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{0}{27}$

خطوة 3.3.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.3.1

اقسِم $0$ على $27$ .

$x = 0$

خطوة 4

احسِب قيمة $\sqrt[3]{x^{2}} + 2 x$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب القيمة في $x = - \frac{1}{27}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- \frac{1}{27}$ .

$\sqrt[3]{{(- \frac{1}{27})}^{2}} + 2 (- \frac{1}{27})$

خطوة 4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{1}{27}$ .

$\sqrt[3]{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{27})}^{2}} + 2 (- \frac{1}{27})$

خطوة 4.1.2.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt[3]{1 {(\frac{1}{27})}^{2}} + 2 (- \frac{1}{27})$

خطوة 4.1.2.1.3

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{27}$ .

$\sqrt[3]{1 \frac{1^{2}}{27^{2}}} + 2 (- \frac{1}{27})$

خطوة 4.1.2.1.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\sqrt[3]{1 \frac{1}{27^{2}}} + 2 (- \frac{1}{27})$

خطوة 4.1.2.1.5

ارفع $27$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt[3]{1 (\frac{1}{729})} + 2 (- \frac{1}{27})$

خطوة 4.1.2.1.6

اضرب $\frac{1}{729}$ في $1$ .

$\sqrt[3]{\frac{1}{729}} + 2 (- \frac{1}{27})$

خطوة 4.1.2.1.7

أعِد كتابة $\sqrt[3]{\frac{1}{729}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{729}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{729}} + 2 (- \frac{1}{27})$

خطوة 4.1.2.1.8

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$\frac{1}{\sqrt[3]{729}} + 2 (- \frac{1}{27})$

خطوة 4.1.2.1.9

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.9.1

أعِد كتابة $729$ بالصيغة $9^{3}$ .

$\frac{1}{\sqrt[3]{9^{3}}} + 2 (- \frac{1}{27})$

خطوة 4.1.2.1.9.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أنها أعداد حقيقية.

$\frac{1}{9} + 2 (- \frac{1}{27})$

خطوة 4.1.2.1.10

اضرب $2 (- \frac{1}{27})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.10.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{9} - 2 (\frac{1}{27})$

خطوة 4.1.2.1.10.2

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{27}$ .

$\frac{1}{9} + \frac{- 2}{27}$

خطوة 4.1.2.1.11

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{9} - \frac{2}{27}$

خطوة 4.1.2.2

لكتابة $\frac{1}{9}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{27}$

خطوة 4.1.2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $27$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.3.1

اضرب $\frac{1}{9}$ في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{2}{27}$

خطوة 4.1.2.3.2

اضرب $9$ في $3$ .

$\frac{3}{27} - \frac{2}{27}$

خطوة 4.1.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{3 - 2}{27}$

خطوة 4.1.2.5

اطرح $2$ من $3$ .

$\frac{1}{27}$

خطوة 4.2

احسِب القيمة في $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

$\sqrt[3]{{(0)}^{2}} + 2 (0)$

خطوة 4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\sqrt[3]{0} + 2 (0)$

خطوة 4.2.2.1.2

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{3}$ .

$\sqrt[3]{0^{3}} + 2 (0)$

خطوة 4.2.2.1.3

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أنها أعداد حقيقية.

$0 + 2 (0)$

خطوة 4.2.2.1.4

اضرب $2$ في $0$ .

$0 + 0$

خطوة 4.2.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$0$

خطوة 4.3

اسرِد جميع النقاط.

$(- \frac{1}{27}, \frac{1}{27}), (0, 0)$

خطوة 5