حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$- \frac{1}{15} x^{6} + x^{5} - 4 x^{4}$

خطوة 1

اكتب $- \frac{1}{15} x^{6} + x^{5} - 4 x^{4}$ في صورة دالة.

$f (x) = - \frac{1}{15} x^{6} + x^{5} - 4 x^{4}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- \frac{1}{15} x^{6} + x^{5} - 4 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{15} x^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{15} x^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{15} x^{6}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بما أن $- \frac{1}{15}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{1}{15} x^{6}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$- \frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 6$ .

$- \frac{1}{15} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

خطوة 2.1.2.3

اضرب $6$ في $- 1$ .

$- 6 (\frac{1}{15}) x^{5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

خطوة 2.1.2.4

اجمع $- 6$ و $\frac{1}{15}$ .

$\frac{- 6}{15} x^{5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

خطوة 2.1.2.5

اجمع $\frac{- 6}{15}$ و $x^{5}$ .

$\frac{- 6 x^{5}}{15} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

خطوة 2.1.2.6

احذِف العامل المشترك لـ $- 6$ و $15$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.6.1

أخرِج العامل $3$ من $- 6 x^{5}$ .

$\frac{3 (- 2 x^{5})}{15} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

خطوة 2.1.2.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.6.2.1

أخرِج العامل $3$ من $15$ .

$\frac{3 (- 2 x^{5})}{3 (5)} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

خطوة 2.1.2.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 (- 2 x^{5})}{3 \cdot 5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

خطوة 2.1.2.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 2 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

خطوة 2.1.2.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$- \frac{2 x^{5}}{5} + 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

خطوة 2.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{2 x^{5}}{5} + 5 x^{4} - 4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 2.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$- \frac{2 x^{5}}{5} + 5 x^{4} - 4 (4 x^{3})$

خطوة 2.1.4.3

اضرب $4$ في $- 4$ .

$f' (x) = - \frac{2 x^{5}}{5} + 5 x^{4} - 16 x^{3}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- \frac{2 x^{5}}{5} + 5 x^{4} - 16 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$

خطوة 2.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{5}}{5}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

بما أن $- \frac{2}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{2 x^{5}}{5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$

خطوة 2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$- \frac{2}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$

خطوة 2.2.2.3

اضرب $5$ في $- 1$ .

$- 5 (\frac{2}{5}) x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$

خطوة 2.2.2.4

اجمع $- 5$ و $\frac{2}{5}$ .

$\frac{- 5 \cdot 2}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$

خطوة 2.2.2.5

اضرب $- 5$ في $2$ .

$\frac{- 10}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$

خطوة 2.2.2.6

اجمع $\frac{- 10}{5}$ و $x^{4}$ .

$\frac{- 10 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$

خطوة 2.2.2.7

احذِف العامل المشترك لـ $- 10$ و $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.7.1

أخرِج العامل $5$ من $- 10 x^{4}$ .

$\frac{5 (- 2 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$

خطوة 2.2.2.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.7.2.1

أخرِج العامل $5$ من $5$ .

$\frac{5 (- 2 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$

خطوة 2.2.2.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 (- 2 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$

خطوة 2.2.2.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 2 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$

خطوة 2.2.2.7.2.4

اقسِم $- 2 x^{4}$ على $1$ .

$- 2 x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$

خطوة 2.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 2 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$

خطوة 2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$- 2 x^{4} + 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$

خطوة 2.2.3.3

اضرب $4$ في $5$ .

$- 2 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$

خطوة 2.2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

بما أن $- 16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 16 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 2 x^{4} + 20 x^{3} - 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 2.2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$- 2 x^{4} + 20 x^{3} - 16 (3 x^{2})$

خطوة 2.2.4.3

اضرب $3$ في $- 16$ .

$f'' (x) = - 2 x^{4} + 20 x^{3} - 48 x^{2}$

خطوة 2.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 2 x^{4} + 20 x^{3} - 48 x^{2}$ .

$- 2 x^{4} + 20 x^{3} - 48 x^{2}$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- 2 x^{4} + 20 x^{3} - 48 x^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 2 x^{4} + 20 x^{3} - 48 x^{2} = 0$

خطوة 3.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أخرِج العامل $- 2 x^{2}$ من $- 2 x^{4} + 20 x^{3} - 48 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

أخرِج العامل $- 2 x^{2}$ من $- 2 x^{4}$ .

$- 2 x^{2} x^{2} + 20 x^{3} - 48 x^{2} = 0$

خطوة 3.2.1.2

أخرِج العامل $- 2 x^{2}$ من $20 x^{3}$ .

$- 2 x^{2} x^{2} - 2 x^{2} (- 10 x) - 48 x^{2} = 0$

خطوة 3.2.1.3

أخرِج العامل $- 2 x^{2}$ من $- 48 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} x^{2} - 2 x^{2} (- 10 x) - 2 x^{2} \cdot 24 = 0$

خطوة 3.2.1.4

أخرِج العامل $- 2 x^{2}$ من $- 2 x^{2} (x^{2}) - 2 x^{2} (- 10 x)$ .

$- 2 x^{2} (x^{2} - 10 x) - 2 x^{2} \cdot 24 = 0$

خطوة 3.2.1.5

أخرِج العامل $- 2 x^{2}$ من $- 2 x^{2} (x^{2} - 10 x) - 2 x^{2} (24)$ .

$- 2 x^{2} (x^{2} - 10 x + 24) = 0$

خطوة 3.2.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

حلّل $x^{2} - 10 x + 24$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $24$ ومجموعهما $- 10$ .

$- 6, - 4$

خطوة 3.2.2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$- 2 x^{2} ((x - 6) (x - 4)) = 0$

خطوة 3.2.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$- 2 x^{2} (x - 6) (x - 4) = 0$

خطوة 3.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 6 = 0$

$x - 4 = 0$

خطوة 3.4

عيّن قيمة العبارة $x^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

عيّن قيمة $x^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} = 0$

خطوة 3.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{0}$

خطوة 3.4.2.2

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

خطوة 3.4.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 0$

خطوة 3.4.2.2.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 3.5

عيّن قيمة العبارة $x - 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

عيّن قيمة $x - 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 6 = 0$

خطوة 3.5.2

أضف $6$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 6$

خطوة 3.6

عيّن قيمة العبارة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

عيّن قيمة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 4 = 0$

خطوة 3.6.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 4$

خطوة 3.7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- 2 x^{2} (x - 6) (x - 4) = 0$ صحيحة.

$x = 0, 6, 4$

خطوة 4

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $0$ في $f (x) = - \frac{1}{15} x^{6} + x^{5} - 4 x^{4}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = - \frac{1}{15} \cdot {(0)}^{6} + {(0)}^{5} - 4 {(0)}^{4}$

خطوة 4.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = - \frac{1}{15} \cdot 0 + {(0)}^{5} - 4 {(0)}^{4}$

خطوة 4.1.2.1.2

اضرب $- \frac{1}{15} \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.2.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$f (0) = 0 (\frac{1}{15}) + {(0)}^{5} - 4 {(0)}^{4}$

خطوة 4.1.2.1.2.2

اضرب $0$ في $\frac{1}{15}$ .

$f (0) = 0 + {(0)}^{5} - 4 {(0)}^{4}$

خطوة 4.1.2.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 0 + 0 - 4 {(0)}^{4}$

خطوة 4.1.2.1.4

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 0 + 0 - 4 \cdot 0$

خطوة 4.1.2.1.5

اضرب $- 4$ في $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0$

خطوة 4.1.2.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

أضف $0$ و $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

خطوة 4.1.2.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$f (0) = 0$

خطوة 4.1.2.3

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 4.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $0$ في $f (x) = - \frac{1}{15} x^{6} + x^{5} - 4 x^{4}$ هي $(0, 0)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(0, 0)$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $6$ في $f (x) = - \frac{1}{15} x^{6} + x^{5} - 4 x^{4}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $6$ في العبارة.

$f (6) = - \frac{1}{15} \cdot {(6)}^{6} + {(6)}^{5} - 4 {(6)}^{4}$

خطوة 4.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

ارفع $6$ إلى القوة $6$ .

$f (6) = - \frac{1}{15} \cdot 46656 + {(6)}^{5} - 4 {(6)}^{4}$

خطوة 4.3.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{15}$ إلى بسط الكسر.

$f (6) = \frac{- 1}{15} \cdot 46656 + {(6)}^{5} - 4 {(6)}^{4}$

خطوة 4.3.2.1.2.2

أخرِج العامل $3$ من $15$ .

$f (6) = \frac{- 1}{3 (5)} \cdot 46656 + {(6)}^{5} - 4 {(6)}^{4}$

خطوة 4.3.2.1.2.3

أخرِج العامل $3$ من $46656$ .

$f (6) = \frac{- 1}{3 \cdot 5} \cdot (3 \cdot 15552) + {(6)}^{5} - 4 {(6)}^{4}$

خطوة 4.3.2.1.2.4

ألغِ العامل المشترك.

$f (6) = \frac{- 1}{3 \cdot 5} \cdot (3 \cdot 15552) + {(6)}^{5} - 4 {(6)}^{4}$

خطوة 4.3.2.1.2.5

أعِد كتابة العبارة.

$f (6) = \frac{- 1}{5} \cdot 15552 + {(6)}^{5} - 4 {(6)}^{4}$

خطوة 4.3.2.1.3

اجمع $\frac{- 1}{5}$ و $15552$ .

$f (6) = \frac{- 1 \cdot 15552}{5} + {(6)}^{5} - 4 {(6)}^{4}$

خطوة 4.3.2.1.4

اضرب $- 1$ في $15552$ .

$f (6) = \frac{- 15552}{5} + {(6)}^{5} - 4 {(6)}^{4}$

خطوة 4.3.2.1.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (6) = - \frac{15552}{5} + {(6)}^{5} - 4 {(6)}^{4}$

خطوة 4.3.2.1.6

ارفع $6$ إلى القوة $5$ .

$f (6) = - \frac{15552}{5} + 7776 - 4 {(6)}^{4}$

خطوة 4.3.2.1.7

ارفع $6$ إلى القوة $4$ .

$f (6) = - \frac{15552}{5} + 7776 - 4 \cdot 1296$

خطوة 4.3.2.1.8

اضرب $- 4$ في $1296$ .

$f (6) = - \frac{15552}{5} + 7776 - 5184$

خطوة 4.3.2.2

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

اكتب $7776$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f (6) = - \frac{15552}{5} + \frac{7776}{1} - 5184$

خطوة 4.3.2.2.2

اضرب $\frac{7776}{1}$ في $\frac{5}{5}$ .

$f (6) = - \frac{15552}{5} + \frac{7776}{1} \cdot \frac{5}{5} - 5184$

خطوة 4.3.2.2.3

اضرب $\frac{7776}{1}$ في $\frac{5}{5}$ .

$f (6) = - \frac{15552}{5} + \frac{7776 \cdot 5}{5} - 5184$

خطوة 4.3.2.2.4

اكتب $- 5184$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f (6) = - \frac{15552}{5} + \frac{7776 \cdot 5}{5} + \frac{- 5184}{1}$

خطوة 4.3.2.2.5

اضرب $\frac{- 5184}{1}$ في $\frac{5}{5}$ .

$f (6) = - \frac{15552}{5} + \frac{7776 \cdot 5}{5} + \frac{- 5184}{1} \cdot \frac{5}{5}$

خطوة 4.3.2.2.6

اضرب $\frac{- 5184}{1}$ في $\frac{5}{5}$ .

$f (6) = - \frac{15552}{5} + \frac{7776 \cdot 5}{5} + \frac{- 5184 \cdot 5}{5}$

خطوة 4.3.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (6) = \frac{- 15552 + 7776 \cdot 5 - 5184 \cdot 5}{5}$

خطوة 4.3.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.4.1

اضرب $7776$ في $5$ .

$f (6) = \frac{- 15552 + 38880 - 5184 \cdot 5}{5}$

خطوة 4.3.2.4.2

اضرب $- 5184$ في $5$ .

$f (6) = \frac{- 15552 + 38880 - 25920}{5}$

خطوة 4.3.2.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.5.1

أضف $- 15552$ و $38880$ .

$f (6) = \frac{23328 - 25920}{5}$

خطوة 4.3.2.5.2

اطرح $25920$ من $23328$ .

$f (6) = \frac{- 2592}{5}$

خطوة 4.3.2.5.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (6) = - \frac{2592}{5}$

خطوة 4.3.2.6

الإجابة النهائية هي $- \frac{2592}{5}$ .

$- \frac{2592}{5}$

خطوة 4.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $6$ في $f (x) = - \frac{1}{15} x^{6} + x^{5} - 4 x^{4}$ هي $(6, - \frac{2592}{5})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(6, - \frac{2592}{5})$

خطوة 4.5

عوّض بقيمة $4$ في $f (x) = - \frac{1}{15} x^{6} + x^{5} - 4 x^{4}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $4$ في العبارة.

$f (4) = - \frac{1}{15} \cdot {(4)}^{6} + {(4)}^{5} - 4 {(4)}^{4}$

خطوة 4.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1.1

ارفع $4$ إلى القوة $6$ .

$f (4) = - \frac{1}{15} \cdot 4096 + {(4)}^{5} - 4 {(4)}^{4}$

خطوة 4.5.2.1.2

اضرب $- \frac{1}{15} \cdot 4096$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1.2.1

اضرب $4096$ في $- 1$ .

$f (4) = - 4096 (\frac{1}{15}) + {(4)}^{5} - 4 {(4)}^{4}$

خطوة 4.5.2.1.2.2

اجمع $- 4096$ و $\frac{1}{15}$ .

$f (4) = \frac{- 4096}{15} + {(4)}^{5} - 4 {(4)}^{4}$

خطوة 4.5.2.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (4) = - \frac{4096}{15} + {(4)}^{5} - 4 {(4)}^{4}$

خطوة 4.5.2.1.4

ارفع $4$ إلى القوة $5$ .

$f (4) = - \frac{4096}{15} + 1024 - 4 {(4)}^{4}$

خطوة 4.5.2.1.5

ارفع $4$ إلى القوة $4$ .

$f (4) = - \frac{4096}{15} + 1024 - 4 \cdot 256$

خطوة 4.5.2.1.6

اضرب $- 4$ في $256$ .

$f (4) = - \frac{4096}{15} + 1024 - 1024$

خطوة 4.5.2.2

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.2.1

اكتب $1024$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f (4) = - \frac{4096}{15} + \frac{1024}{1} - 1024$

خطوة 4.5.2.2.2

اضرب $\frac{1024}{1}$ في $\frac{15}{15}$ .

$f (4) = - \frac{4096}{15} + \frac{1024}{1} \cdot \frac{15}{15} - 1024$

خطوة 4.5.2.2.3

اضرب $\frac{1024}{1}$ في $\frac{15}{15}$ .

$f (4) = - \frac{4096}{15} + \frac{1024 \cdot 15}{15} - 1024$

خطوة 4.5.2.2.4

اكتب $- 1024$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f (4) = - \frac{4096}{15} + \frac{1024 \cdot 15}{15} + \frac{- 1024}{1}$

خطوة 4.5.2.2.5

اضرب $\frac{- 1024}{1}$ في $\frac{15}{15}$ .

$f (4) = - \frac{4096}{15} + \frac{1024 \cdot 15}{15} + \frac{- 1024}{1} \cdot \frac{15}{15}$

خطوة 4.5.2.2.6

اضرب $\frac{- 1024}{1}$ في $\frac{15}{15}$ .

$f (4) = - \frac{4096}{15} + \frac{1024 \cdot 15}{15} + \frac{- 1024 \cdot 15}{15}$

خطوة 4.5.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (4) = \frac{- 4096 + 1024 \cdot 15 - 1024 \cdot 15}{15}$

خطوة 4.5.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.4.1

اضرب $1024$ في $15$ .

$f (4) = \frac{- 4096 + 15360 - 1024 \cdot 15}{15}$

خطوة 4.5.2.4.2

اضرب $- 1024$ في $15$ .

$f (4) = \frac{- 4096 + 15360 - 15360}{15}$

خطوة 4.5.2.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.5.1

أضف $- 4096$ و $15360$ .

$f (4) = \frac{11264 - 15360}{15}$

خطوة 4.5.2.5.2

اطرح $15360$ من $11264$ .

$f (4) = \frac{- 4096}{15}$

خطوة 4.5.2.5.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (4) = - \frac{4096}{15}$

خطوة 4.5.2.6

الإجابة النهائية هي $- \frac{4096}{15}$ .

$- \frac{4096}{15}$

خطوة 4.6

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $4$ في $f (x) = - \frac{1}{15} x^{6} + x^{5} - 4 x^{4}$ هي $(4, - \frac{4096}{15})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(4, - \frac{4096}{15})$

خطوة 4.7

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(0, 0), (6, - \frac{2592}{5}), (4, - \frac{4096}{15})$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, 0) \cup (0, 4) \cup (4, 6) \cup (6, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.1$ في العبارة.

$f'' (- 0.1) = - 2 {(- 0.1)}^{4} + 20 {(- 0.1)}^{3} - 48 {(- 0.1)}^{2}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $- 0.1$ إلى القوة $4$ .

$f'' (- 0.1) = - 2 \cdot 0.0001 + 20 {(- 0.1)}^{3} - 48 {(- 0.1)}^{2}$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $- 2$ في $0.0001$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.0002 + 20 {(- 0.1)}^{3} - 48 {(- 0.1)}^{2}$

خطوة 6.2.1.3

ارفع $- 0.1$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.0002 + 20 \cdot - 0.001 - 48 {(- 0.1)}^{2}$

خطوة 6.2.1.4

اضرب $20$ في $- 0.001$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.0002 - 0.02 - 48 {(- 0.1)}^{2}$

خطوة 6.2.1.5

ارفع $- 0.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.0002 - 0.02 - 48 \cdot 0.01$

خطوة 6.2.1.6

اضرب $- 48$ في $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.0002 - 0.02 - 0.48$

خطوة 6.2.2

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اطرح $0.02$ من $- 0.0002$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.0202 - 0.48$

خطوة 6.2.2.2

اطرح $0.48$ من $- 0.0202$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.5002$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 0.5002$ .

$- 0.5002$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $- 0.1$ يساوي $- 0.5002$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, 0)$

تناقص خلال $(- \infty, 0)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(0, 4)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f'' (2) = - 2 {(2)}^{4} + 20 {(2)}^{3} - 48 {(2)}^{2}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$f'' (2) = - 2 \cdot 16 + 20 {(2)}^{3} - 48 {(2)}^{2}$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $- 2$ في $16$ .

$f'' (2) = - 32 + 20 {(2)}^{3} - 48 {(2)}^{2}$

خطوة 7.2.1.3

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$f'' (2) = - 32 + 20 \cdot 8 - 48 {(2)}^{2}$

خطوة 7.2.1.4

اضرب $20$ في $8$ .

$f'' (2) = - 32 + 160 - 48 {(2)}^{2}$

خطوة 7.2.1.5

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f'' (2) = - 32 + 160 - 48 \cdot 4$

خطوة 7.2.1.6

اضرب $- 48$ في $4$ .

$f'' (2) = - 32 + 160 - 192$

خطوة 7.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

أضف $- 32$ و $160$ .

$f'' (2) = 128 - 192$

خطوة 7.2.2.2

اطرح $192$ من $128$ .

$f'' (2) = - 64$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $- 64$ .

$- 64$

خطوة 7.3

المشتق الثاني عند $2$ يساوي $- 64$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(0, 4)$

تناقص خلال $(0, 4)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(4, 6)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $5$ في العبارة.

$f'' (5) = - 2 {(5)}^{4} + 20 {(5)}^{3} - 48 {(5)}^{2}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ارفع $5$ إلى القوة $4$ .

$f'' (5) = - 2 \cdot 625 + 20 {(5)}^{3} - 48 {(5)}^{2}$

خطوة 8.2.1.2

اضرب $- 2$ في $625$ .

$f'' (5) = - 1250 + 20 {(5)}^{3} - 48 {(5)}^{2}$

خطوة 8.2.1.3

ارفع $5$ إلى القوة $3$ .

$f'' (5) = - 1250 + 20 \cdot 125 - 48 {(5)}^{2}$

خطوة 8.2.1.4

اضرب $20$ في $125$ .

$f'' (5) = - 1250 + 2500 - 48 {(5)}^{2}$

خطوة 8.2.1.5

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$f'' (5) = - 1250 + 2500 - 48 \cdot 25$

خطوة 8.2.1.6

اضرب $- 48$ في $25$ .

$f'' (5) = - 1250 + 2500 - 1200$

خطوة 8.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

أضف $- 1250$ و $2500$ .

$f'' (5) = 1250 - 1200$

خطوة 8.2.2.2

اطرح $1200$ من $1250$ .

$f'' (5) = 50$

خطوة 8.2.3

الإجابة النهائية هي $50$ .

$50$

خطوة 8.3

في $5$ ، المشتق الثاني هو $50$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(4, 6)$ .

تزايد خلال $(4, 6)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 9

عوّض بقيمة من الفترة $(6, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $6.1$ في العبارة.

$f'' (6.1) = - 2 {(6.1)}^{4} + 20 {(6.1)}^{3} - 48 {(6.1)}^{2}$

خطوة 9.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.1

ارفع $6.1$ إلى القوة $4$ .

$f'' (6.1) = - 2 \cdot 1384.5841 + 20 {(6.1)}^{3} - 48 {(6.1)}^{2}$

خطوة 9.2.1.2

اضرب $- 2$ في $1384.5841$ .

$f'' (6.1) = - 2769.1682 + 20 {(6.1)}^{3} - 48 {(6.1)}^{2}$

خطوة 9.2.1.3

ارفع $6.1$ إلى القوة $3$ .

$f'' (6.1) = - 2769.1682 + 20 \cdot 226.981 - 48 {(6.1)}^{2}$

خطوة 9.2.1.4

اضرب $20$ في $226.981$ .

$f'' (6.1) = - 2769.1682 + 4539.62 - 48 {(6.1)}^{2}$

خطوة 9.2.1.5

ارفع $6.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (6.1) = - 2769.1682 + 4539.62 - 48 \cdot 37.21$

خطوة 9.2.1.6

اضرب $- 48$ في $37.21$ .

$f'' (6.1) = - 2769.1682 + 4539.62 - 1786.08$

خطوة 9.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

أضف $- 2769.1682$ و $4539.62$ .

$f'' (6.1) = 1770.4518 - 1786.08$

خطوة 9.2.2.2

اطرح $1786.08$ من $1770.4518$ .

$f'' (6.1) = - 15.6282$

خطوة 9.2.3

الإجابة النهائية هي $- 15.6282$ .

$- 15.6282$

خطوة 9.3

المشتق الثاني عند $6.1$ يساوي $- 15.6282$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(6, \infty)$

تناقص خلال $(6, \infty)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 10

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقاط الانقلاب في هذه الحالة هي $(4, - \frac{4096}{15}), (6, - \frac{2592}{5})$ .

$(4, - \frac{4096}{15}), (6, - \frac{2592}{5})$

خطوة 11