حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${(1 + \sin (x))}^{2}$

خطوة 1

اكتب ${(1 + \sin (x))}^{2}$ في صورة دالة.

$f (x) = {(1 + \sin (x))}^{2}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int {(1 + \sin (x))}^{2} d x$

خطوة 4

وسّع ${(1 + \sin (x))}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة ${(1 + \sin (x))}^{2}$ بالصيغة $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ .

$\int (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)) d x$

خطوة 4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\int 1 (1 + \sin (x)) + \sin (x) (1 + \sin (x)) d x$

خطوة 4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\int 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) (1 + \sin (x)) d x$

خطوة 4.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\int 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) d x$

خطوة 4.5

أعِد ترتيب $\sin (x)$ و $1$ .

$\int 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + 1 \cdot \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

خطوة 4.6

اضرب $1$ في $1$ .

$\int 1 + 1 \sin (x) + 1 \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

خطوة 4.7

اضرب $\sin (x)$ في $1$ .

$\int 1 + \sin (x) + 1 \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

خطوة 4.8

اضرب $\sin (x)$ في $1$ .

$\int 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

خطوة 4.9

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$\int 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) d x$

خطوة 4.10

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$\int 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) d x$

خطوة 4.11

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int 1 + \sin (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} d x$

خطوة 4.12

أضف $1$ و $1$ .

$\int 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{2} (x) d x$

خطوة 4.13

أضف $\sin (x)$ و $\sin (x)$ .

$\int 1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) d x$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \sin^{2} (x) d x$

خطوة 6

طبّق قاعدة الثابت.

$x + C + \int 2 \sin (x) d x + \int \sin^{2} (x) d x$

خطوة 7

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$x + C + 2 \int \sin (x) d x + \int \sin^{2} (x) d x$

خطوة 8

تكامل $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \cos (x)$ .

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \int \sin^{2} (x) d x$

خطوة 9

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة $\sin^{2} (x)$ بحيث تصبح $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

خطوة 10

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x$

خطوة 11

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (\int d x + \int - \cos (2 x) d x)$

خطوة 12

طبّق قاعدة الثابت.

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C + \int - \cos (2 x) d x)$

خطوة 13

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C - \int \cos (2 x) d x)$

خطوة 14

لنفترض أن $u = 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

افترض أن $u = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 14.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 14.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 14.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 14.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

خطوة 15

اجمع $\cos (u)$ و $\frac{1}{2}$ .

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

خطوة 16

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

خطوة 17

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

خطوة 18

بسّط.

$x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

خطوة 19

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

خطوة 20

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.1

اجمع $\sin (2 x)$ و $\frac{1}{2}$ .

$x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} (x - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

خطوة 20.2

طبّق خاصية التوزيع.

$x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

خطوة 20.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x$ .

$x - 2 \cos (x) + \frac{x}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

خطوة 20.4

اضرب $\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.4.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$x - 2 \cos (x) + \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

خطوة 20.4.2

اضرب $2$ في $2$ .

$x - 2 \cos (x) + \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

خطوة 21

أعِد ترتيب الحدود.

$x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

خطوة 22

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = {(1 + \sin (x))}^{2}$ .

$F (x) =$ $x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$