حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{1}{4} x^{4} + 4 x^{3} + 24 x^{2}$

خطوة 1

اكتب $\frac{1}{4} x^{4} + 4 x^{3} + 24 x^{2}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + 4 x^{3} + 24 x^{2}$

خطوة 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{1}{4} x^{4} + 4 x^{3} + 24 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

خطوة 2.1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.2.1

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{1}{4} x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

خطوة 2.1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

خطوة 2.1.1.2.3

اجمع $4$ و $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

خطوة 2.1.1.2.4

اجمع $\frac{4}{4}$ و $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

خطوة 2.1.1.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

خطوة 2.1.1.2.5.2

اقسِم $x^{3}$ على $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

خطوة 2.1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

خطوة 2.1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

خطوة 2.1.1.3.3

اضرب $3$ في $4$ .

$x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

خطوة 2.1.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.4.1

بما أن $24$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $24 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{3} + 12 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.1.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{3} + 12 x^{2} + 24 (2 x)$

خطوة 2.1.1.4.3

اضرب $2$ في $24$ .

$f' (x) = x^{3} + 12 x^{2} + 48 x$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} + 12 x^{2} + 48 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$

خطوة 2.1.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$

خطوة 2.1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $12 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$

خطوة 2.1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [48 x]$

خطوة 2.1.2.2.3

اضرب $2$ في $12$ .

$3 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} [48 x]$

خطوة 2.1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [48 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.1

بما أن $48$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $48 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 24 x + 48 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 x^{2} + 24 x + 48 \cdot 1$

خطوة 2.1.2.3.3

اضرب $48$ في $1$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 24 x + 48$

خطوة 2.1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $3 x^{2} + 24 x + 48$ .

$3 x^{2} + 24 x + 48$

خطوة 2.2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $3 x^{2} + 24 x + 48 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$3 x^{2} + 24 x + 48 = 0$

خطوة 2.2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3 x^{2} + 24 x + 48$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

أخرِج العامل $3$ من $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) + 24 x + 48 = 0$

خطوة 2.2.2.1.2

أخرِج العامل $3$ من $24 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (8 x) + 48 = 0$

خطوة 2.2.2.1.3

أخرِج العامل $3$ من $48$ .

$3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16 = 0$

خطوة 2.2.2.1.4

أخرِج العامل $3$ من $3 x^{2} + 3 (8 x)$ .

$3 (x^{2} + 8 x) + 3 \cdot 16 = 0$

خطوة 2.2.2.1.5

أخرِج العامل $3$ من $3 (x^{2} + 8 x) + 3 \cdot 16$ .

$3 (x^{2} + 8 x + 16) = 0$

خطوة 2.2.2.2

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$3 (x^{2} + 8 x + 4^{2}) = 0$

خطوة 2.2.2.2.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

خطوة 2.2.2.2.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$3 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

خطوة 2.2.2.2.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ ، حيث $a = x$ و $b = 4$ .

$3 {(x + 4)}^{2} = 0$

خطوة 2.2.3

اقسِم كل حد في $3 {(x + 4)}^{2} = 0$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

اقسِم كل حد في $3 {(x + 4)}^{2} = 0$ على $3$ .

$\frac{3 {(x + 4)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

خطوة 2.2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 {(x + 4)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

خطوة 2.2.3.2.1.2

اقسِم ${(x + 4)}^{2}$ على $1$ .

${(x + 4)}^{2} = \frac{0}{3}$

خطوة 2.2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.3.1

اقسِم $0$ على $3$ .

${(x + 4)}^{2} = 0$

خطوة 2.2.4

عيّن قيمة $x + 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 4 = 0$

خطوة 2.2.5

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$x = - 4$

خطوة 3

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 4

أنشئ فترات حول القيم $x$ التي يكون عندها المشتق الثاني مساويًا لصفر أو غير معرّف.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

خطوة 5

عوّض بأي عدد من الفترة $(- \infty, - 4)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 6$ في العبارة.

$f'' (- 6) = 3 {(- 6)}^{2} + 24 (- 6) + 48$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 6$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 6) = 3 \cdot 36 + 24 (- 6) + 48$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $3$ في $36$ .

$f'' (- 6) = 108 + 24 (- 6) + 48$

خطوة 5.2.1.3

اضرب $24$ في $- 6$ .

$f'' (- 6) = 108 - 144 + 48$

خطوة 5.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اطرح $144$ من $108$ .

$f'' (- 6) = - 36 + 48$

خطوة 5.2.2.2

أضف $- 36$ و $48$ .

$f'' (- 6) = 12$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $12$ .

$12$

خطوة 5.3

الرسم البياني مقعر لأعلى في الفترة $(- \infty, - 4)$ لأن $f'' (- 6)$ موجبة.

مقعر لأعلى خلال $(- \infty, - 4)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 6

عوّض بأي عدد من الفترة $(- 4, \infty)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f'' (0) = 3 {(0)}^{2} + 24 (0) + 48$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f'' (0) = 3 \cdot 0 + 24 (0) + 48$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $3$ في $0$ .

$f'' (0) = 0 + 24 (0) + 48$

خطوة 6.2.1.3

اضرب $24$ في $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 48$

خطوة 6.2.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

أضف $0$ و $0$ .

$f'' (0) = 0 + 48$

خطوة 6.2.2.2

أضف $0$ و $48$ .

$f'' (0) = 48$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $48$ .

$48$

خطوة 6.3

الرسم البياني مقعر لأعلى في الفترة $(- 4, \infty)$ لأن $f'' (0)$ موجبة.

مقعر لأعلى خلال $(- 4, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 7

يكون الرسم البياني مقعرًا لأسفل إذا كان المشتق الثاني سالبًا ومقعرًا لأعلى إذا كان المشتق الثاني موجبًا.

مقعر لأعلى خلال $(- \infty, - 4)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

مقعر لأعلى خلال $(- 4, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 8