حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int 4 (\tan^{2} (x) + \tan^{4} (x)) d x$

خطوة 1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$4 \int \tan^{2} (x) + \tan^{4} (x) d x$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$4 (\int \tan^{2} (x) d x + \int \tan^{4} (x) d x)$

خطوة 3

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\tan^{2} (x)$ بحيث تصبح $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$4 (\int - 1 + \sec^{2} (x) d x + \int \tan^{4} (x) d x)$

خطوة 4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$4 (\int - 1 d x + \int \sec^{2} (x) d x + \int \tan^{4} (x) d x)$

خطوة 5

طبّق قاعدة الثابت.

$4 (- x + C + \int \sec^{2} (x) d x + \int \tan^{4} (x) d x)$

خطوة 6

بما أن مشتق $\tan (x)$ هو $\sec^{2} (x)$ ، إذن تكامل $\sec^{2} (x)$ هو $\tan (x)$ .

$4 (- x + C + \tan (x) + C + \int \tan^{4} (x) d x)$

خطوة 7

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$4 (- x + C + \tan (x) + C + \int {\tan (x)}^{2 (2)} d x)$

خطوة 7.2

أعِد كتابة ${\tan (x)}^{2 (2)}$ في صورة أُس.

$4 (- x + C + \tan (x) + C + \int {(\tan^{2} (x))}^{2} d x)$

خطوة 8

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\tan^{2} (x)$ بحيث تصبح $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$4 (- x + C + \tan (x) + C + \int {(- 1 + \sec^{2} (x))}^{2} d x)$

خطوة 9

بسّط.

$4 (- x + C + \tan (x) + C + \int 1 - 2 \sec^{2} (x) + \sec^{4} (x) d x)$

خطوة 10

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$4 (- x + C + \tan (x) + C + \int d x + \int - 2 \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x)$

خطوة 11

طبّق قاعدة الثابت.

$4 (- x + C + \tan (x) + C + x + C + \int - 2 \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x)$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أضف $- x$ و $x$ .

$4 (C + \tan (x) + C + 0 + C + \int - 2 \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x)$

خطوة 12.2

أضف $C + \tan (x) + C$ و $0$ .

$4 (C + \tan (x) + C + C + \int - 2 \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x)$

خطوة 13

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$4 (C + \tan (x) + C + C - 2 \int \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x)$

خطوة 14

بما أن مشتق $\tan (x)$ هو $\sec^{2} (x)$ ، إذن تكامل $\sec^{2} (x)$ هو $\tan (x)$ .

$4 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + \int \sec^{4} (x) d x)$

خطوة 15

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

أعِد كتابة $4$ في صورة $2$ زائد $2$

$4 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + \int {\sec (x)}^{2 + 2} d x)$

خطوة 15.2

أعِد كتابة ${\sec (x)}^{2 + 2}$ بالصيغة $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$4 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + \int \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) d x)$

خطوة 16

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\sec^{2} (x)$ بحيث تصبح $1 + \tan^{2} (x)$ .

$4 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + \int (1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x) d x)$

خطوة 17

لنفترض أن $u = \tan (x)$ . إذن $d u = \sec^{2} (x) d x$ ، لذا $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

افترض أن $u = \tan (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1.1

أوجِد مشتقة $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

خطوة 17.1.2

مشتق $\tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

خطوة 17.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$4 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + \int 1 + u^{2} d u)$

خطوة 18

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$4 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + \int d u + \int u^{2} d u)$

خطوة 19

طبّق قاعدة الثابت.

$4 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + u + C + \int u^{2} d u)$

خطوة 20

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$4 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

خطوة 21

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 21.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $u^{3}$ .

$4 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

خطوة 21.2

بسّط.

$4 (- \tan (x) + u + \frac{u^{3}}{3}) + C$

خطوة 22

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\tan (x)$ .

$4 (- \tan (x) + \tan (x) + \frac{\tan^{3} (x)}{3}) + C$

خطوة 23

أضف $- \tan (x)$ و $\tan (x)$ .

$4 (0 + \frac{\tan^{3} (x)}{3}) + C$

خطوة 24

أعِد ترتيب الحدود.

$4 (0 + \frac{1}{3} \tan^{3} (x)) + C$