حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{9}$

خطوة 1

اضرب الأُسس في ${(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{9}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{\sin (x^{3} + 7)}^{5 \cdot 9}]$

خطوة 1.2

اضرب $5$ في $9$ .

$\frac{d}{d x} [\sin^{45} (x^{3} + 7)]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{45}$ و $g (x) = \sin (x^{3} + 7)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\sin (x^{3} + 7)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{45}] \frac{d}{d x} [\sin (x^{3} + 7)]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 45$ .

$45 {u_{1}}^{44} \frac{d}{d x} [\sin (x^{3} + 7)]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\sin (x^{3} + 7)$ .

$45 \sin^{44} (x^{3} + 7) \frac{d}{d x} [\sin (x^{3} + 7)]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = x^{3} + 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x^{3} + 7$ .

$45 \sin^{44} (x^{3} + 7) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{3} + 7])$

خطوة 3.2

مشتق $\sin (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\cos (u_{2})$ .

$45 \sin^{44} (x^{3} + 7) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} + 7])$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x^{3} + 7$ .

$45 \sin^{44} (x^{3} + 7) (\cos (x^{3} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3} + 7])$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} + 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$45 \sin^{44} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$45 \sin^{44} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [7])$

خطوة 4.3

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$45 \sin^{44} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) (3 x^{2} + 0)$

خطوة 4.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

أضف $3 x^{2}$ و $0$ .

$45 \sin^{44} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) (3 x^{2})$

خطوة 4.4.2

اضرب $3$ في $45$ .

$135 \sin^{44} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) x^{2}$

خطوة 4.4.3

أعِد ترتيب عوامل $135 \sin^{44} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) x^{2}$ .

$135 x^{2} \sin^{44} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7)$