حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{x + \cos (5 x) - 1}{- 3 x}$

خطوة 1

انقُل الحد $\frac{1}{- 3}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{x + \cos (5 x) - 1}{x}$

خطوة 2

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x + \cos (5 x) - 1}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \cos (5 x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.2.2

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x + \cos (lim_{x \to 0} 5 x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.2.3

انقُل الحد $5$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x + \cos (5 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.2.4

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x + \cos (5 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.2.5

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.5.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{0 + \cos (5 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.2.5.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{0 + \cos (5 \cdot 0) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.2.6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.6.1.1

اضرب $5$ في $0$ .

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{0 + \cos (0) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.2.6.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{0 + 1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.2.6.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{0 + 1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.2.6.2

أضف $0$ و $1$ .

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.2.6.3

اطرح $1$ من $1$ .

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{0}{0}$

خطوة 2.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{0}{0}$

خطوة 2.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0} \frac{x + \cos (5 x) - 1}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + \cos (5 x) - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + \cos (5 x) - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + \cos (5 x) - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 5 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $5 x$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.4.1.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{1 - \sin (u) \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.4.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $5 x$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{1 - \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.4.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{1 - \sin (5 x) \cdot 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{1 - \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.4.4

اضرب $5$ في $1$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{1 - \sin (5 x) \cdot 5 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.4.5

اضرب $5$ في $- 1$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{1 - 5 \sin (5 x) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{1 - 5 \sin (5 x) + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.6

أضف $1 - 5 \sin (5 x)$ و $0$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{1 - 5 \sin (5 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{1 - 5 \sin (5 x)}{1}$

خطوة 2.4

اقسِم $1 - 5 \sin (5 x)$ على $1$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} 1 - 5 \sin (5 x)$

خطوة 3

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{1}{- 3} (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 5 \sin (5 x))$

خطوة 3.2

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{1}{- 3} (1 - lim_{x \to 0} 5 \sin (5 x))$

خطوة 3.3

انقُل الحد $5$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{- 3} (1 - 5 lim_{x \to 0} \sin (5 x))$

خطوة 3.4

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$\frac{1}{- 3} (1 - 5 \sin (lim_{x \to 0} 5 x))$

خطوة 3.5

انقُل الحد $5$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{- 3} (1 - 5 \sin (5 lim_{x \to 0} x))$

خطوة 4

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1}{- 3} (1 - 5 \sin (5 \cdot 0))$

خطوة 5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{3} (1 - 5 \sin (5 \cdot 0))$

خطوة 5.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اضرب $5$ في $0$ .

$- \frac{1}{3} (1 - 5 \sin (0))$

خطوة 5.2.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$- \frac{1}{3} (1 - 5 \cdot 0)$

خطوة 5.2.3

اضرب $- 5$ في $0$ .

$- \frac{1}{3} (1 + 0)$

خطوة 5.3

أضف $1$ و $0$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 1$

خطوة 5.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{1}{3}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- \frac{1}{3}$

الصيغة العشرية:

$- 0.\overline{3}$