حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \sin (a x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = a x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $a x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [a x]$

خطوة 1.1.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [a x]$

خطوة 1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $a x$ .

$\cos (a x) \frac{d}{d x} [a x]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $a$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $a x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (a x) (a \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\cos (a x) (a \cdot 1)$

خطوة 1.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

اضرب $a$ في $1$ .

$\cos (a x) a$

خطوة 1.2.3.2

أعِد ترتيب عوامل $\cos (a x) a$ .

$f' (x) = a \cos (a x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $a$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $a \cos (a x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $a \frac{d}{d x} [\cos (a x)]$ .

$a \frac{d}{d x} [\cos (a x)]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = a x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $a x$ .

$a (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [a x])$

خطوة 2.2.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$a (- \sin (u) \frac{d}{d x} [a x])$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $a x$ .

$a (- \sin (a x) \frac{d}{d x} [a x])$

خطوة 2.3

بما أن $a$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $a x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$a (- \sin (a x) (a \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 2.4

ارفع $a$ إلى القوة $1$ .

$a^{1} a (- \sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 2.5

ارفع $a$ إلى القوة $1$ .

$a^{1} a^{1} (- \sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 2.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$a^{1 + 1} (- \sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 2.7

أضف $1$ و $1$ .

$a^{2} (- \sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$a^{2} (- \sin (a x) \cdot 1)$

خطوة 2.9

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$a^{2} (- \sin (a x))$

خطوة 2.9.2

أعِد ترتيب عوامل $a^{2} (- \sin (a x))$ .

$f'' (x) = - a^{2} \sin (a x)$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثالث.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $- a^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- a^{2} \sin (a x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- a^{2} \frac{d}{d x} [\sin (a x)]$ .

$- a^{2} \frac{d}{d x} [\sin (a x)]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = a x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $a x$ .

$- a^{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [a x])$

خطوة 3.2.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$- a^{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [a x])$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $a x$ .

$- a^{2} (\cos (a x) \frac{d}{d x} [a x])$

خطوة 3.3

بما أن $a$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $a x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$- a^{2} (\cos (a x) (a \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 3.4

ارفع $a$ إلى القوة $1$ .

$- (a^{1} a^{2}) (\cos (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 3.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- a^{1 + 2} (\cos (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 3.6

أضف $1$ و $2$ .

$- a^{3} (\cos (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- a^{3} (\cos (a x) \cdot 1)$

خطوة 3.8

اضرب $\cos (a x)$ في $1$ .

$f''' (x) = - a^{3} \cos (a x)$

خطوة 4

أوجِد المشتق الرابع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $- a^{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- a^{3} \cos (a x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- a^{3} \frac{d}{d x} [\cos (a x)]$ .

$- a^{3} \frac{d}{d x} [\cos (a x)]$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = a x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $a x$ .

$- a^{3} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [a x])$

خطوة 4.2.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$- a^{3} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [a x])$

خطوة 4.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $a x$ .

$- a^{3} (- \sin (a x) \frac{d}{d x} [a x])$

خطوة 4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 a^{3} (\sin (a x) \frac{d}{d x} [a x])$

خطوة 4.3.2

اضرب $a^{3}$ في $1$ .

$a^{3} (\sin (a x) \frac{d}{d x} [a x])$

خطوة 4.3.3

بما أن $a$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $a x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$a^{3} (\sin (a x) (a \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 4.4

اضرب $a^{3}$ في $a$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

انقُل $a$ .

$a \cdot a^{3} (\sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 4.4.2

اضرب $a$ في $a^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1

ارفع $a$ إلى القوة $1$ .

$a^{1} a^{3} (\sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 4.4.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$a^{1 + 3} (\sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 4.4.3

أضف $1$ و $3$ .

$a^{4} (\sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 4.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$a^{4} (\sin (a x) \cdot 1)$

خطوة 4.6

اضرب $\sin (a x)$ في $1$ .

$f^{4} (x) = a^{4} \sin (a x)$

خطوة 5

المشتق الرابع لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $a^{4} \sin (a x)$ .

$a^{4} \sin (a x)$