حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{1}{x^{2} + 2 x}$

خطوة 1

اكتب $\frac{1}{x^{2} + 2 x}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{1}{x^{2} + 2 x}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{1}{x^{2} + 2 x} d x$

خطوة 4

اكتب الكسر باستخدام التفكيك الكسري الجزئي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

فكّ الكسر واضرب في القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} + 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{1}{x \cdot x + 2 x}$

خطوة 4.1.1.2

أخرِج العامل $x$ من $2 x$ .

$\frac{1}{x \cdot x + x \cdot 2}$

خطوة 4.1.1.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x + x \cdot 2$ .

$\frac{1}{x (x + 2)}$

خطوة 4.1.2

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 2}$

خطوة 4.1.3

اضرب كل كسر في المعادلة في قاسم العبارة الأصلية. في هذه الحالة، القاسم يساوي $x (x + 2)$ .

$\frac{1 (x (x + 2))}{x (x + 2)} = \frac{A (x (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2))}{x + 2}$

خطوة 4.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 (x (x + 2))}{x (x + 2)} = \frac{A (x (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2))}{x + 2}$

خطوة 4.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 (x + 2)}{x + 2} = \frac{A (x (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2))}{x + 2}$

خطوة 4.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 (x + 2)}{x + 2} = \frac{A (x (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2))}{x + 2}$

خطوة 4.1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 = \frac{A (x (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2))}{x + 2}$

خطوة 4.1.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$1 = \frac{A (x (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2))}{x + 2}$

خطوة 4.1.6.1.2

اقسِم $A (x + 2)$ على $1$ .

$1 = A (x + 2) + \frac{(B) (x (x + 2))}{x + 2}$

خطوة 4.1.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$1 = A x + A \cdot 2 + \frac{(B) (x (x + 2))}{x + 2}$

خطوة 4.1.6.3

انقُل $2$ إلى يسار $A$ .

$1 = A x + 2 \cdot A + \frac{(B) (x (x + 2))}{x + 2}$

خطوة 4.1.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$1 = A x + 2 A + \frac{B (x (x + 2))}{x + 2}$

خطوة 4.1.6.4.2

اقسِم $(B) (x)$ على $1$ .

$1 = A x + 2 A + (B) (x)$

$1 = A x + 2 A + B x$

خطوة 4.1.7

انقُل $2 A$ .

$1 = A x + B x + 2 A$

خطوة 4.2

أنشئ معادلات لمتغيرات الكسور الجزئية واستخدمها لتعيين سلسلة معادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$0 = A + B$

خطوة 4.2.2

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات الحدود التي لا تتضمن $x$ . ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$1 = 2 A$

خطوة 4.2.3

عيّن سلسلة المعادلات لإيجاد معاملات الكسور الجزئية.

$0 = A + B$

$1 = 2 A$

$0 = A + B$

$1 = 2 A$

خطوة 4.3

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أوجِد قيمة $A$ في $1 = 2 A$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $2 A = 1$ .

$2 A = 1$

$0 = A + B$

خطوة 4.3.1.2

اقسِم كل حد في $2 A = 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.2.1

اقسِم كل حد في $2 A = 1$ على $2$ .

$\frac{2 A}{2} = \frac{1}{2}$

$0 = A + B$

خطوة 4.3.1.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 A}{2} = \frac{1}{2}$

$0 = A + B$

خطوة 4.3.1.2.2.1.2

اقسِم $A$ على $1$ .

$A = \frac{1}{2}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = A + B$

خطوة 4.3.2

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ بـ $\frac{1}{2}$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ في $0 = A + B$ بـ $\frac{1}{2}$ .

$0 = (\frac{1}{2}) + B$

$A = \frac{1}{2}$

خطوة 4.3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

احذِف الأقواس.

$0 = \frac{1}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = \frac{1}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = \frac{1}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

خطوة 4.3.3

أوجِد قيمة $B$ في $0 = \frac{1}{2} + B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{1}{2} + B = 0$ .

$\frac{1}{2} + B = 0$

$A = \frac{1}{2}$

خطوة 4.3.3.2

اطرح $\frac{1}{2}$ من كلا المتعادلين.

$B = - \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

خطوة 4.3.4

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

$B = - \frac{1}{2} A = \frac{1}{2}$

خطوة 4.3.5

اسرِد جميع الحلول.

$B = - \frac{1}{2}, A = \frac{1}{2}$

خطوة 4.4

استبدِل كل معامل من معاملات الكسور الجزئية في $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 2}$ بالقيم التي تم إيجادها لـ $A$ و $B$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{- \frac{1}{2}}{x + 2}$

خطوة 4.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{- \frac{1}{2}}{x + 2}$

خطوة 4.5.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{2 x} + \frac{- \frac{1}{2}}{x + 2}$

خطوة 4.5.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{1}{2 x} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 2}$

خطوة 4.5.4

اضرب $\frac{1}{x + 2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 x} - \frac{1}{(x + 2) \cdot 2}$

خطوة 4.5.5

انقُل $2$ إلى يسار $x + 2$ .

$\int \frac{1}{2 x} - \frac{1}{2 (x + 2)} d x$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \frac{1}{2 x} d x + \int - \frac{1}{2 (x + 2)} d x$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{1}{2 (x + 2)} d x$

خطوة 7

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \int - \frac{1}{2 (x + 2)} d x$

خطوة 8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \int \frac{1}{2 (x + 2)} d x$

خطوة 9

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 2} d x)$

خطوة 10

لنفترض أن $u = x + 2$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

افترض أن $u = x + 2$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

أوجِد مشتقة $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

خطوة 10.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 10.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 10.1.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 10.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 10.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 11

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

خطوة 12

بسّط.

$\frac{1}{2} \ln (| x |) - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

خطوة 13

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 2$ .

$\frac{1}{2} \ln (| x |) - \frac{1}{2} \ln (| x + 2 |) + C$

خطوة 14

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 2 x}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \ln (| x |) - \frac{1}{2} \ln (| x + 2 |) + C$