حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\infty} \frac{5}{{(x + 4)}^{4}} d x$

خطوة 1

اكتب التكامل في صورة نهاية عند اقتراب $t$ من $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{5}{{(x + 4)}^{4}} d x$

خطوة 2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{0}^{t} \frac{1}{{(x + 4)}^{4}} d x$

خطوة 3

لنفترض أن $u = x + 4$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u = x + 4$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

خطوة 3.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 3.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 3.1.4

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 3.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 3.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = x + 4$ .

$u_{lower} = 0 + 4$

خطوة 3.3

أضف $0$ و $4$ .

$u_{lower} = 4$

خطوة 3.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = x + 4$ .

$u_{upper} = t + 4$

خطوة 3.5

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = t + 4$

خطوة 3.6

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{4}^{t + 4} \frac{1}{u^{4}} d u$

خطوة 4

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل $u^{4}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{4}^{t + 4} {(u^{4})}^{- 1} d u$

خطوة 4.2

اضرب الأُسس في ${(u^{4})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{4}^{t + 4} u^{4 \cdot - 1} d u$

خطوة 4.2.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{4}^{t + 4} u^{- 4} d u$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- 4}$ بالنسبة إلى $u$ هو $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3} u^{- 3}]_{4}^{t + 4})$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اجمع $u^{- 3}$ و $\frac{1}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{u^{- 3}}{3}]_{4}^{t + 4})$

خطوة 6.2

انقُل $u^{- 3}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 u^{3}}]_{4}^{t + 4})$

خطوة 7

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

احسِب قيمة $- \frac{1}{3 u^{3}}$ في $t + 4$ وفي $4$ .

$lim_{t \to \infty} 5 ((- \frac{1}{3 {(t + 4)}^{3}}) + \frac{1}{3 \cdot 4^{3}})$

خطوة 7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ارفع $4$ إلى القوة $3$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 {(t + 4)}^{3}} + \frac{1}{3 \cdot 64})$

خطوة 7.2.2

اضرب $3$ في $64$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 {(t + 4)}^{3}} + \frac{1}{192})$

خطوة 8

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

انقُل الحد $5$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $t$ .

$5 lim_{t \to \infty} - \frac{1}{3 {(t + 4)}^{3}} + \frac{1}{192}$

خطوة 8.1.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $t$ من $\infty$ .

$5 (- lim_{t \to \infty} \frac{1}{3 {(t + 4)}^{3}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{192})$

خطوة 8.1.3

انقُل الحد $\frac{1}{3}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $t$ .

$5 (- \frac{1}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{{(t + 4)}^{3}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{192})$

خطوة 8.2

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{{(t + 4)}^{3}}$ يقترب من $0$ .

$5 (- \frac{1}{3} \cdot 0 + lim_{t \to \infty} \frac{1}{192})$

خطوة 8.3

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

احسِب قيمة حد $\frac{1}{192}$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $t$ من $\infty$ .

$5 (- \frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{192})$

خطوة 8.3.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

اضرب $- \frac{1}{3} \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$5 (0 (\frac{1}{3}) + \frac{1}{192})$

خطوة 8.3.2.1.2

اضرب $0$ في $\frac{1}{3}$ .

$5 (0 + \frac{1}{192})$

خطوة 8.3.2.2

أضف $0$ و $\frac{1}{192}$ .

$5 (\frac{1}{192})$

خطوة 8.3.2.3

اجمع $5$ و $\frac{1}{192}$ .

$\frac{5}{192}$

خطوة 9

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{5}{192}$

الصيغة العشرية:

$0.026041\overline{6}$