حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 5 \sin (\frac{x}{5}) + \cos (2 x)$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 2

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int 5 \sin (\frac{x}{5}) + \cos (2 x) d x$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int 5 \sin (\frac{x}{5}) d x + \int \cos (2 x) d x$

خطوة 4

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$5 \int \sin (\frac{x}{5}) d x + \int \cos (2 x) d x$

خطوة 5

لنفترض أن $u_{1} = \frac{x}{5}$ . إذن $d u_{1} = \frac{1}{5} d x$ ، لذا $5 d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u_{1} = \frac{x}{5}$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $\frac{x}{5}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]$

خطوة 5.1.2

بما أن $\frac{1}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x}{5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{5} \cdot 1$

خطوة 5.1.4

اضرب $\frac{1}{5}$ في $1$ .

$\frac{1}{5}$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$5 \int \sin (u_{1}) \frac{1}{\frac{1}{5}} d u_{1} + \int \cos (2 x) d x$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{5}$ .

$5 \int \sin (u_{1}) (1 \cdot 5) d u_{1} + \int \cos (2 x) d x$

خطوة 6.2

اضرب $5$ في $1$ .

$5 \int \sin (u_{1}) \cdot 5 d u_{1} + \int \cos (2 x) d x$

خطوة 6.3

انقُل $5$ إلى يسار $\sin (u_{1})$ .

$5 \int 5 \sin (u_{1}) d u_{1} + \int \cos (2 x) d x$

خطوة 7

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$5 (5 \int \sin (u_{1}) d u_{1}) + \int \cos (2 x) d x$

خطوة 8

اضرب $5$ في $5$ .

$25 \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int \cos (2 x) d x$

خطوة 9

تكامل $\sin (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $- \cos (u_{1})$ .

$25 (- \cos (u_{1}) + C) + \int \cos (2 x) d x$

خطوة 10

لنفترض أن $u_{2} = 2 x$ . إذن $d u_{2} = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

افترض أن $u_{2} = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 10.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 10.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 10.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 10.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$25 (- \cos (u_{1}) + C) + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 11

اجمع $\cos (u_{2})$ و $\frac{1}{2}$ .

$25 (- \cos (u_{1}) + C) + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}$

خطوة 12

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$25 (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 13

تكامل $\cos (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\sin (u_{2})$ .

$25 (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)$

خطوة 14

بسّط.

$- 25 \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} \sin (u_{2}) + C$

خطوة 15

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\frac{x}{5}$ .

$- 25 \cos (\frac{x}{5}) + \frac{1}{2} \sin (u_{2}) + C$

خطوة 15.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 x$ .

$- 25 \cos (\frac{x}{5}) + \frac{1}{2} \sin (2 x) + C$

خطوة 16

أعِد ترتيب الحدود.

$- 25 \cos (\frac{1}{5} x) + \frac{1}{2} \sin (2 x) + C$

خطوة 17

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = 5 \sin (\frac{x}{5}) + \cos (2 x)$ .

$F (x) =$ $- 25 \cos (\frac{1}{5} x) + \frac{1}{2} \sin (2 x) + C$