حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{3} \frac{y^{3} - 2 y^{2} - y}{y^{2}} d y$

خطوة 1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{3} - 2 y^{2} - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{3}$ .

$\int_{1}^{3} \frac{y \cdot y^{2} - 2 y^{2} - y}{y^{2}} d y$

خطوة 1.1.2

أخرِج العامل $y$ من $- 2 y^{2}$ .

$\int_{1}^{3} \frac{y \cdot y^{2} + y (- 2 y) - y}{y^{2}} d y$

خطوة 1.1.3

أخرِج العامل $y$ من $- y$ .

$\int_{1}^{3} \frac{y \cdot y^{2} + y (- 2 y) + y \cdot - 1}{y^{2}} d y$

خطوة 1.1.4

أخرِج العامل $y$ من $y \cdot y^{2} + y (- 2 y)$ .

$\int_{1}^{3} \frac{y (y^{2} - 2 y) + y \cdot - 1}{y^{2}} d y$

خطوة 1.1.5

أخرِج العامل $y$ من $y (y^{2} - 2 y) + y \cdot - 1$ .

$\int_{1}^{3} \frac{y (y^{2} - 2 y - 1)}{y^{2}} d y$

خطوة 1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{2}$ .

$\int_{1}^{3} \frac{y (y^{2} - 2 y - 1)}{y \cdot y} d y$

خطوة 1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int_{1}^{3} \frac{y (y^{2} - 2 y - 1)}{y \cdot y} d y$

خطوة 1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int_{1}^{3} \frac{y^{2} - 2 y - 1}{y} d y$

خطوة 2

اقسِم $y^{2} - 2 y - 1$ على $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$y$

$0$

$y^{2}$

$2 y$

$1$

خطوة 2.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $y^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $y$ .

					$y$
	$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$

خطوة 2.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			+	$y^{2}$	+	$0$

خطوة 2.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $y^{2} + 0$

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$

خطوة 2.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$

خطوة 2.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	-	$1$

خطوة 2.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 2 y$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $y$ .

				$y$	-	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	-	$1$

خطوة 2.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$y$	-	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	-	$1$
					-	$2 y$	+	$0$

خطوة 2.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 2 y + 0$

				$y$	-	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	-	$1$
					+	$2 y$	-	$0$

خطوة 2.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$y$	-	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	-	$1$
					+	$2 y$	-	$0$
							-	$1$

خطوة 2.11

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\int_{1}^{3} y - 2 - \frac{1}{y} d y$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{1}^{3} y d y + \int_{1}^{3} - 2 d y + \int_{1}^{3} - \frac{1}{y} d y$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - 2 d y + \int_{1}^{3} - \frac{1}{y} d y$

خطوة 5

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} y^{2}]_{1}^{3} + - 2 y]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - \frac{1}{y} d y$

خطوة 6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2}]_{1}^{3} + - 2 y]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{y} d y$

خطوة 7

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{1}^{3} + - 2 y]_{1}^{3} - (\ln (| y |)]_{1}^{3})$

خطوة 8

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع $\frac{1}{2} y^{2}]_{1}^{3}$ و $- 2 y]_{1}^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y]_{1}^{3} - (\ln (| y |)]_{1}^{3})$

خطوة 8.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

احسِب قيمة $\frac{1}{2} y^{2} - 2 y$ في $3$ وفي $1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 2 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - (\ln (| y |)]_{1}^{3})$

خطوة 8.2.2

احسِب قيمة $\ln (| y |)$ في $3$ وفي $1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 2 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

خطوة 8.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 9 - 2 \cdot 3 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

خطوة 8.2.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $9$ .

$\frac{9}{2} - 2 \cdot 3 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

خطوة 8.2.3.3

اضرب $- 2$ في $3$ .

$\frac{9}{2} - 6 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

خطوة 8.2.3.4

لكتابة $- 6$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} - 6 \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

خطوة 8.2.3.5

اجمع $- 6$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

خطوة 8.2.3.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{9 - 6 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

خطوة 8.2.3.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.7.1

اضرب $- 6$ في $2$ .

$\frac{9 - 12}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

خطوة 8.2.3.7.2

اطرح $12$ من $9$ .

$\frac{- 3}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

خطوة 8.2.3.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

خطوة 8.2.3.9

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1 - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

خطوة 8.2.3.10

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$- \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

خطوة 8.2.3.11

اضرب $- 2$ في $1$ .

$- \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} - 2) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

خطوة 8.2.3.12

لكتابة $- 2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

خطوة 8.2.3.13

اجمع $- 2$ و $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

خطوة 8.2.3.14

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{3}{2} - \frac{1 - 2 \cdot 2}{2} - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

خطوة 8.2.3.15

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.15.1

اضرب $- 2$ في $2$ .

$- \frac{3}{2} - \frac{1 - 4}{2} - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

خطوة 8.2.3.15.2

اطرح $4$ من $1$ .

$- \frac{3}{2} - \frac{- 3}{2} - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

خطوة 8.2.3.16

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{3}{2} - - \frac{3}{2} - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

خطوة 8.2.3.17

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- \frac{3}{2} + 1 (\frac{3}{2}) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

خطوة 8.2.3.18

اضرب $\frac{3}{2}$ في $1$ .

$- \frac{3}{2} + \frac{3}{2} - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

خطوة 8.2.3.19

أضف $- \frac{3}{2}$ و $\frac{3}{2}$ .

$0 - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

خطوة 8.2.3.20

اطرح $\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |)$ من $0$ .

$- (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 8.3

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |})$

خطوة 8.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $3$ تساوي $3$ .

$- \ln (\frac{3}{| 1 |})$

خطوة 8.4.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$- \ln (\frac{3}{1})$

خطوة 8.4.3

اقسِم $3$ على $1$ .

$- \ln (3)$

خطوة 9

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- \ln (3)$

الصيغة العشرية:

$- 1.09861228 \dots$

خطوة 10