حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y^{3} + y - 2 y^{2} + 5 x^{2} = 0$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y^{3} + y - 2 y^{2} + 5 x^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{3} + y - 2 y^{2} + 5 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

خطوة 2.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

خطوة 2.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

خطوة 2.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

خطوة 2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$3 y^{2} y' + y' + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

خطوة 2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$3 y^{2} y' + y' - 2 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

خطوة 2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $y$ .

$3 y^{2} y' + y' - 2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

خطوة 2.4.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 y^{2} y' + y' - 2 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

خطوة 2.4.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $y$ .

$3 y^{2} y' + y' - 2 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

خطوة 2.4.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$3 y^{2} y' + y' - 2 (2 y y') + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

خطوة 2.4.4

اضرب $2$ في $- 2$ .

$3 y^{2} y' + y' - 4 y y' + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

خطوة 2.5

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 y^{2} y' + y' - 4 y y' + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 y^{2} y' + y' - 4 y y' + 5 (2 x)$

خطوة 2.5.3

اضرب $2$ في $5$ .

$3 y^{2} y' + y' - 4 y y' + 10 x$

خطوة 2.6

أعِد ترتيب الحدود.

$3 y^{2} y' - 4 y y' + 10 x + y'$

خطوة 3

بما أن $0$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $0$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$3 y^{2} y' - 4 y y' + 10 x + y' = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اطرح $10 x$ من كلا المتعادلين.

$3 y^{2} y' - 4 y y' + y' = - 10 x$

خطوة 5.2

أخرِج العامل $y'$ من $3 y^{2} y' - 4 y y' + y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $y'$ من $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) - 4 y y' + y' = - 10 x$

خطوة 5.2.2

أخرِج العامل $y'$ من $- 4 y y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (- 4 y) + y' = - 10 x$

خطوة 5.2.3

ارفع $y'$ إلى القوة $1$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (- 4 y) + y' = - 10 x$

خطوة 5.2.4

أخرِج العامل $y'$ من ${y'}^{1}$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (- 4 y) + y' \cdot 1 = - 10 x$

خطوة 5.2.5

أخرِج العامل $y'$ من $y' (3 y^{2}) + y' (- 4 y)$ .

$y' (3 y^{2} - 4 y) + y' \cdot 1 = - 10 x$

خطوة 5.2.6

أخرِج العامل $y'$ من $y' (3 y^{2} - 4 y) + y' \cdot 1$ .

$y' (3 y^{2} - 4 y + 1) = - 10 x$

خطوة 5.3

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ ومجموعهما $b = - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1.1

أخرِج العامل $- 4$ من $- 4 y$ .

$y' (3 y^{2} - 4 y + 1) = - 10 x$

خطوة 5.3.1.1.2

أعِد كتابة $- 4$ في صورة $- 1$ زائد $- 3$

$y' (3 y^{2} + (- 1 - 3) y + 1) = - 10 x$

خطوة 5.3.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y' (3 y^{2} - 1 y - 3 y + 1) = - 10 x$

خطوة 5.3.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$y' ((3 y^{2} - 1 y) - 3 y + 1) = - 10 x$

خطوة 5.3.1.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$y' (y (3 y - 1) - (3 y - 1)) = - 10 x$

خطوة 5.3.1.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $3 y - 1$ .

$y' ((3 y - 1) (y - 1)) = - 10 x$

خطوة 5.3.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$y' (3 y - 1) (y - 1) = - 10 x$

خطوة 5.4

اقسِم كل حد في $y' (3 y - 1) (y - 1) = - 10 x$ على $(3 y - 1) (y - 1)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اقسِم كل حد في $y' (3 y - 1) (y - 1) = - 10 x$ على $(3 y - 1) (y - 1)$ .

$\frac{y' (3 y - 1) (y - 1)}{(3 y - 1) (y - 1)} = \frac{- 10 x}{(3 y - 1) (y - 1)}$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3 y - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (3 y - 1) (y - 1)}{(3 y - 1) (y - 1)} = \frac{- 10 x}{(3 y - 1) (y - 1)}$

خطوة 5.4.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (y - 1)}{y - 1} = \frac{- 10 x}{(3 y - 1) (y - 1)}$

خطوة 5.4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (y - 1)}{y - 1} = \frac{- 10 x}{(3 y - 1) (y - 1)}$

خطوة 5.4.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 10 x}{(3 y - 1) (y - 1)}$

خطوة 5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{10 x}{(3 y - 1) (y - 1)}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{10 x}{(3 y - 1) (y - 1)}$