حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{5} π {(\frac{20 - 4 x}{5})}^{2} d x$

خطوة 1

بما أن $π$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $π$ خارج التكامل.

$π \int_{0}^{5} {(\frac{20 - 4 x}{5})}^{2} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = \frac{20 - 4 x}{5}$ . إذن $d u = - \frac{4}{5} d x$ ، لذا $- \frac{5}{4} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = \frac{20 - 4 x}{5}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $\frac{20 - 4 x}{5}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{20 - 4 x}{5}]$

خطوة 2.1.2

أخرِج العامل $4$ من $20 - 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

أخرِج العامل $4$ من $20$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (5) - 4 x}{5}]$

خطوة 2.1.2.2

أخرِج العامل $4$ من $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (5) + 4 (- x)}{5}]$

خطوة 2.1.2.3

أخرِج العامل $4$ من $4 (5) + 4 (- x)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (5 - x)}{5}]$

خطوة 2.1.3

بما أن $\frac{4}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{4 (5 - x)}{5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [5 - x]$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [5 - x]$

خطوة 2.1.4

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{4}{5} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x])$

خطوة 2.1.5

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{4}{5} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

خطوة 2.1.6

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 2.1.7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4}{5} (- \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.1.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{4}{5} (- 1 \cdot 1)$

خطوة 2.1.9

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.9.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{4}{5} \cdot - 1$

خطوة 2.1.9.2

اجمع $\frac{4}{5}$ و $- 1$ .

$\frac{4 \cdot - 1}{5}$

خطوة 2.1.9.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.9.3.1

اضرب $4$ في $- 1$ .

$\frac{- 4}{5}$

خطوة 2.1.9.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{4}{5}$

خطوة 2.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = \frac{20 - 4 x}{5}$ .

$u_{lower} = \frac{20 - 4 \cdot 0}{5}$

خطوة 2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $20 - 4 \cdot 0$ و $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد كتابة $20$ بالصيغة $- 1 (- 20)$ .

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 20) - 4 \cdot 0}{5}$

خطوة 2.3.1.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- 4 \cdot 0$ .

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 20) - (4 \cdot 0)}{5}$

خطوة 2.3.1.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (- 20) - (4 \cdot 0)$ .

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 20 + 4 \cdot 0)}{5}$

خطوة 2.3.1.4

أعِد ترتيب الحدود.

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 20 + 0 \cdot 4)}{5}$

خطوة 2.3.1.5

أخرِج العامل $5$ من $- 1 (- 20 + 0 \cdot 4)$ .

$u_{lower} = \frac{5 (- 1 (- 4 + 0 \cdot 4))}{5}$

خطوة 2.3.1.6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.6.1

أخرِج العامل $5$ من $5$ .

$u_{lower} = \frac{5 (- 1 (- 4 + 0 \cdot 4))}{5 (1)}$

خطوة 2.3.1.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$u_{lower} = \frac{5 (- 1 (- 4 + 0 \cdot 4))}{5 \cdot 1}$

خطوة 2.3.1.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 4 + 0 \cdot 4)}{1}$

خطوة 2.3.1.6.4

اقسِم $- 1 (- 4 + 0 \cdot 4)$ على $1$ .

$u_{lower} = - 1 (- 4 + 0 \cdot 4)$

خطوة 2.3.2

أعِد كتابة $- 1 (- 4 + 0 \cdot 4)$ بالصيغة $- (- 4 + 0 \cdot 4)$ .

$u_{lower} = - (- 4 + 0 \cdot 4)$

خطوة 2.3.3

اضرب $0$ في $4$ .

$u_{lower} = - (- 4 + 0)$

خطوة 2.3.4

أضف $- 4$ و $0$ .

$u_{lower} = - - 4$

خطوة 2.3.5

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$u_{lower} = 4$

خطوة 2.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = \frac{20 - 4 x}{5}$ .

$u_{upper} = \frac{20 - 4 \cdot 5}{5}$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

احذِف العامل المشترك لـ $20 - 4 \cdot 5$ و $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.1

أعِد كتابة $20$ بالصيغة $- 1 (- 20)$ .

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 20) - 4 \cdot 5}{5}$

خطوة 2.5.1.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- 4 \cdot 5$ .

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 20) - (4 \cdot 5)}{5}$

خطوة 2.5.1.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (- 20) - (4 \cdot 5)$ .

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 20 + 4 \cdot 5)}{5}$

خطوة 2.5.1.4

أعِد ترتيب الحدود.

$u_{upper} = \frac{- 1 (4 \cdot 5 - 20)}{5}$

خطوة 2.5.1.5

أخرِج العامل $5$ من $- 1 (4 \cdot 5 - 20)$ .

$u_{upper} = \frac{5 (- 1 (4 - 4))}{5}$

خطوة 2.5.1.6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.6.1

أخرِج العامل $5$ من $5$ .

$u_{upper} = \frac{5 (- 1 (4 - 4))}{5 (1)}$

خطوة 2.5.1.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$u_{upper} = \frac{5 (- 1 (4 - 4))}{5 \cdot 1}$

خطوة 2.5.1.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$u_{upper} = \frac{- 1 (4 - 4)}{1}$

خطوة 2.5.1.6.4

اقسِم $- 1 (4 - 4)$ على $1$ .

$u_{upper} = - 1 (4 - 4)$

خطوة 2.5.2

أعِد كتابة $- 1 (4 - 4)$ بالصيغة $- (4 - 4)$ .

$u_{upper} = - (4 - 4)$

خطوة 2.5.3

اطرح $4$ من $4$ .

$u_{upper} = - 0$

خطوة 2.5.4

اضرب $- 1$ في $0$ .

$u_{upper} = 0$

خطوة 2.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 0$

خطوة 2.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$π \int_{4}^{0} - u^{2} \frac{- 1}{- \frac{4}{5}} d u$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$π \int_{4}^{0} - u^{2} \frac{1}{\frac{4}{5}} d u$

خطوة 3.2

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{4}{5}$ .

$π \int_{4}^{0} - u^{2} (1 (\frac{5}{4})) d u$

خطوة 3.3

اضرب $\frac{5}{4}$ في $1$ .

$π \int_{4}^{0} - u^{2} \frac{5}{4} d u$

خطوة 3.4

اجمع $\frac{5}{4}$ و $u^{2}$ .

$π \int_{4}^{0} - \frac{5 u^{2}}{4} d u$

خطوة 4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$π (- \int_{4}^{0} \frac{5 u^{2}}{4} d u)$

خطوة 5

بما أن $\frac{5}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{5}{4}$ خارج التكامل.

$π (- (\frac{5}{4} \int_{4}^{0} u^{2} d u))$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اجمع $π$ و $\frac{5}{4}$ .

$- \frac{π \cdot 5}{4} \int_{4}^{0} u^{2} d u$

خطوة 6.2

انقُل $5$ إلى يسار $π$ .

$- \frac{5 π}{4} \int_{4}^{0} u^{2} d u$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- \frac{5 π}{4} \frac{1}{3} u^{3}]_{4}^{0}$

خطوة 8

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

احسِب قيمة $\frac{1}{3} u^{3}$ في $0$ وفي $4$ .

$- \frac{5 π}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

خطوة 8.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- \frac{5 π}{4} (\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

خطوة 8.2.2

اضرب $\frac{1}{3}$ في $0$ .

$- \frac{5 π}{4} (0 - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

خطوة 8.2.3

ارفع $4$ إلى القوة $3$ .

$- \frac{5 π}{4} (0 - \frac{1}{3} \cdot 64)$

خطوة 8.2.4

اضرب $64$ في $- 1$ .

$- \frac{5 π}{4} (0 - 64 (\frac{1}{3}))$

خطوة 8.2.5

اجمع $- 64$ و $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{5 π}{4} (0 + \frac{- 64}{3})$

خطوة 8.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{5 π}{4} (0 - \frac{64}{3})$

خطوة 8.2.7

اطرح $\frac{64}{3}$ من $0$ .

$- \frac{5 π}{4} (- \frac{64}{3})$

خطوة 8.2.8

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \frac{5 π}{4} \frac{64}{3}$

خطوة 8.2.9

اضرب $\frac{5 π}{4}$ في $1$ .

$\frac{5 π}{4} \cdot \frac{64}{3}$

خطوة 8.2.10

اضرب $\frac{5 π}{4}$ في $\frac{64}{3}$ .

$\frac{5 π \cdot 64}{4 \cdot 3}$

خطوة 8.2.11

اضرب $64$ في $5$ .

$\frac{320 π}{4 \cdot 3}$

خطوة 8.2.12

اضرب $4$ في $3$ .

$\frac{320 π}{12}$

خطوة 8.2.13

احذِف العامل المشترك لـ $320$ و $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.13.1

أخرِج العامل $4$ من $320 π$ .

$\frac{4 (80 π)}{12}$

خطوة 8.2.13.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.13.2.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$\frac{4 (80 π)}{4 (3)}$

خطوة 8.2.13.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 (80 π)}{4 \cdot 3}$

خطوة 8.2.13.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{80 π}{3}$

خطوة 9

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{80 π}{3}$

الصيغة العشرية:

$83.77580409 \dots$

خطوة 10