حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{{(x^{2} - 1)}^{3}}{x^{2}} d x$

خطوة 1

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int {(x^{2} - 1)}^{3} {(x^{2})}^{- 1} d x$

خطوة 2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(x^{2} - 1)}^{3} x^{2 \cdot - 1} d x$

خطوة 2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\int {(x^{2} - 1)}^{3} x^{- 2} d x$

خطوة 3

وسّع ${(x^{2} - 1)}^{3} x^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم مبرهنة ذات الحدين.

$\int ({(x^{2})}^{3} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot - 1 + 3 x^{2} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}) x^{- 2} d x$

خطوة 3.2

أعِد كتابة الأُس في صورة حاصل ضرب.

$\int (x^{2} {(x^{2})}^{2} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot - 1 + 3 x^{2} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}) x^{- 2} d x$

خطوة 3.3

أعِد كتابة الأُس في صورة حاصل ضرب.

$\int (x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot - 1 + 3 x^{2} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}) x^{- 2} d x$

خطوة 3.4

أعِد كتابة الأُس في صورة حاصل ضرب.

$\int (x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot - 1 + 3 x^{2} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}) x^{- 2} d x$

خطوة 3.5

أعِد كتابة الأُس في صورة حاصل ضرب.

$\int (x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot - 1 + 3 x^{2} (- - 1) + {(- 1)}^{3}) x^{- 2} d x$

خطوة 3.6

أعِد كتابة الأُس في صورة حاصل ضرب.

$\int (x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot - 1 + 3 x^{2} (- - 1) - {(- 1)}^{2}) x^{- 2} d x$

خطوة 3.7

أعِد كتابة الأُس في صورة حاصل ضرب.

$\int (x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot - 1 + 3 x^{2} (- - 1) - - - 1) x^{- 2} d x$

خطوة 3.8

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot - 1 + 3 x^{2} (- - 1)) x^{- 2} - - - 1 x^{- 2} d x$

خطوة 3.9

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot - 1) x^{- 2} + 3 x^{2} (- - 1) x^{- 2} - - - 1 x^{- 2} d x$

خطوة 3.10

طبّق خاصية التوزيع.

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) x^{- 2} + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot - 1 x^{- 2} + 3 x^{2} (- - 1) x^{- 2} - - - 1 x^{- 2} d x$

خطوة 3.11

انقُل $x^{2}$ .

$\int x^{2} x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 x^{2} \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} + 3 x^{2} (- - 1) x^{- 2} - - - 1 x^{- 2} d x$

خطوة 3.12

انقُل $x^{2}$ .

$\int x^{2} x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 x^{2} (- - 1) x^{- 2} - - - 1 x^{- 2} d x$

خطوة 3.13

انقُل $x^{2}$ .

$\int x^{2} x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - - 1 x^{- 2} d x$

خطوة 3.14

انقُل الأقواس.

$\int x^{2} x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

خطوة 3.15

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int x^{2 + 2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

خطوة 3.16

أضف $2$ و $2$ .

$\int x^{4} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

خطوة 3.17

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int x^{4 + 2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

خطوة 3.18

أضف $4$ و $2$ .

$\int x^{6} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

خطوة 3.19

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int x^{6 - 2} + 3 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

خطوة 3.20

اطرح $2$ من $6$ .

$\int x^{4} + 3 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

خطوة 3.21

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\int x^{4} - 3 x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

خطوة 3.22

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int x^{4} - 3 x^{2 + 2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

خطوة 3.23

أضف $2$ و $2$ .

$\int x^{4} - 3 x^{4} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

خطوة 3.24

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int x^{4} - 3 x^{4 - 2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

خطوة 3.25

اطرح $2$ من $4$ .

$\int x^{4} - 3 x^{2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

خطوة 3.26

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\int x^{4} - 3 x^{2} - 3 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

خطوة 3.27

اضرب $- 3$ في $- 1$ .

$\int x^{4} - 3 x^{2} + 3 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

خطوة 3.28

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int x^{4} - 3 x^{2} + 3 x^{2 - 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

خطوة 3.29

اطرح $2$ من $2$ .

$\int x^{4} - 3 x^{2} + 3 x^{0} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

خطوة 3.30

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\int x^{4} - 3 x^{2} + 3 \cdot 1 - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

خطوة 3.31

اضرب $3$ في $1$ .

$\int x^{4} - 3 x^{2} + 3 - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

خطوة 3.32

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\int x^{4} - 3 x^{2} + 3 + 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

خطوة 3.33

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\int x^{4} - 3 x^{2} + 3 - 1 x^{- 2} d x$

خطوة 3.34

انقُل $3$ .

$\int x^{4} - 3 x^{2} - 1 x^{- 2} + 3 d x$

خطوة 4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int x^{4} d x + \int - 3 x^{2} d x + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 3 d x$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C + \int - 3 x^{2} d x + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 3 d x$

خطوة 6

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 3$ خارج التكامل.

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 3 \int x^{2} d x + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 3 d x$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 3 d x$

خطوة 8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - \int x^{- 2} d x + \int 3 d x$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - (- x^{- 1} + C) + \int 3 d x$

خطوة 10

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - (- x^{- 1} + C) + 3 x + C$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - (- x^{- 1} + C) + 3 x + C$

خطوة 11.2

بسّط.

$\frac{x^{5}}{5} - x^{3} + \frac{1}{x} + 3 x + C$

خطوة 11.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{5} x^{5} - x^{3} + \frac{1}{x} + 3 x + C$