حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{3} + 2 x^{2} y - 4 y = 7$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + 2 x^{2} y - 4 y) = \frac{d}{d x} (7)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} + 2 x^{2} y - 4 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 4 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x^{2} y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{2} y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$3 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

$3 x^{2} + 2 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$3 x^{2} + 2 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 x^{2} + 2 (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

خطوة 2.2.5

انقُل $2$ إلى يسار $y$ .

$3 x^{2} + 2 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 4 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 x^{2} + 2 (x^{2} y' + 2 y x) - 4 \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$3 x^{2} + 2 (x^{2} y' + 2 y x) - 4 y'$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$3 x^{2} + 2 (x^{2} y') + 2 (2 y x) - 4 y'$

خطوة 2.4.2

اضرب $2$ في $2$ .

$3 x^{2} + 2 x^{2} y' + 4 y x - 4 y'$

خطوة 2.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$3 x^{2} + 2 x^{2} y' + 4 x y - 4 y'$

خطوة 3

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$3 x^{2} + 2 x^{2} y' + 4 x y - 4 y' = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اطرح $3 x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$2 x^{2} y' + 4 x y - 4 y' = - 3 x^{2}$

خطوة 5.1.2

اطرح $4 x y$ من كلا المتعادلين.

$2 x^{2} y' - 4 y' = - 3 x^{2} - 4 x y$

خطوة 5.2

أخرِج العامل $2 y'$ من $2 x^{2} y' - 4 y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $2 y'$ من $2 x^{2} y'$ .

$2 y' x^{2} - 4 y' = - 3 x^{2} - 4 x y$

خطوة 5.2.2

أخرِج العامل $2 y'$ من $- 4 y'$ .

$2 y' x^{2} + 2 y' \cdot - 2 = - 3 x^{2} - 4 x y$

خطوة 5.2.3

أخرِج العامل $2 y'$ من $2 y' x^{2} + 2 y' \cdot - 2$ .

$2 y' (x^{2} - 2) = - 3 x^{2} - 4 x y$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $2 y' (x^{2} - 2) = - 3 x^{2} - 4 x y$ على $2 (x^{2} - 2)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $2 y' (x^{2} - 2) = - 3 x^{2} - 4 x y$ على $2 (x^{2} - 2)$ .

$\frac{2 y' (x^{2} - 2)}{2 (x^{2} - 2)} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} + \frac{- 4 x y}{2 (x^{2} - 2)}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y' (x^{2} - 2)}{2 (x^{2} - 2)} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} + \frac{- 4 x y}{2 (x^{2} - 2)}$

خطوة 5.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (x^{2} - 2)}{x^{2} - 2} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} + \frac{- 4 x y}{2 (x^{2} - 2)}$

خطوة 5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2} - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (x^{2} - 2)}{x^{2} - 2} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} + \frac{- 4 x y}{2 (x^{2} - 2)}$

خطوة 5.3.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} + \frac{- 4 x y}{2 (x^{2} - 2)}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} + \frac{- 4 x y}{2 (x^{2} - 2)}$

خطوة 5.3.3.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 4 x y$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} + \frac{2 (- 2 x y)}{2 (x^{2} - 2)}$

خطوة 5.3.3.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} + \frac{2 (- 2 x y)}{2 (x^{2} - 2)}$

خطوة 5.3.3.1.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} + \frac{- 2 x y}{x^{2} - 2}$

خطوة 5.3.3.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} - \frac{2 x y}{x^{2} - 2}$

خطوة 5.3.3.2

لكتابة $- \frac{2 x y}{x^{2} - 2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} - \frac{2 x y}{x^{2} - 2} \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 5.3.3.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $2 (x^{2} - 2)$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.3.1

اضرب $\frac{2 x y}{x^{2} - 2}$ في $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} - \frac{2 x y \cdot 2}{(x^{2} - 2) \cdot 2}$

خطوة 5.3.3.3.2

أعِد ترتيب عوامل $(x^{2} - 2) \cdot 2$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} - \frac{2 x y \cdot 2}{2 (x^{2} - 2)}$

خطوة 5.3.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{- 3 x^{2} - 2 x y \cdot 2}{2 (x^{2} - 2)}$

خطوة 5.3.3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.5.1

أخرِج العامل $x$ من $- 3 x^{2} - 2 x y \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.5.1.1

أخرِج العامل $x$ من $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- 3 x) - 2 x y \cdot 2}{2 (x^{2} - 2)}$

خطوة 5.3.3.5.1.2

أخرِج العامل $x$ من $- 2 x y \cdot 2$ .

$y' = \frac{x (- 3 x) + x (- 2 y \cdot 2)}{2 (x^{2} - 2)}$

خطوة 5.3.3.5.1.3

أخرِج العامل $x$ من $x (- 3 x) + x (- 2 y \cdot 2)$ .

$y' = \frac{x (- 3 x - 2 y \cdot 2)}{2 (x^{2} - 2)}$

خطوة 5.3.3.5.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$y' = \frac{x (- 3 x - 4 y)}{2 (x^{2} - 2)}$

خطوة 5.3.3.6

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.6.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- 3 x$ .

$y' = \frac{x (- (3 x) - 4 y)}{2 (x^{2} - 2)}$

خطوة 5.3.3.6.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- 4 y$ .

$y' = \frac{x (- (3 x) - (4 y))}{2 (x^{2} - 2)}$

خطوة 5.3.3.6.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (3 x) - (4 y)$ .

$y' = \frac{x (- (3 x + 4 y))}{2 (x^{2} - 2)}$

خطوة 5.3.3.6.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.6.4.1

أعِد كتابة $- (3 x + 4 y)$ بالصيغة $- 1 (3 x + 4 y)$ .

$y' = \frac{x (- 1 (3 x + 4 y))}{2 (x^{2} - 2)}$

خطوة 5.3.3.6.4.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{x (3 x + 4 y)}{2 (x^{2} - 2)}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (3 x + 4 y)}{2 (x^{2} - 2)}$