حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int {(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}} x^{3} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = x^{4} + 4$ . إذن $d u = 4 x^{3} d x$ ، لذا $\frac{1}{4} d u = x^{3} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = x^{4} + 4$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $x^{4} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} + 4]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{4} + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 1.1.4

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 x^{3} + 0$

خطوة 1.1.5

أضف $4 x^{3}$ و $0$ .

$4 x^{3}$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4} d u$

خطوة 2

اجمع $u^{\frac{1}{2}}$ و $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة $\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ بالصيغة $\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{4 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 5.2.2

اضرب $4$ في $3$ .

$\frac{2}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 5.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (1)}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 5.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $12$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 5.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 5.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{4} + 4$ .

$\frac{1}{6} {(x^{4} + 4)}^{\frac{3}{2}} + C$