حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{x^{2}}}$

خطوة 1

استخدِم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة $x^{\frac{1}{x^{2}}}$ بالصيغة $e^{\ln (x^{\frac{1}{x^{2}}})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln (x^{\frac{1}{x^{2}}})}$

خطوة 1.2

وسّع $\ln (x^{\frac{1}{x^{2}}})$ بنقل $\frac{1}{x^{2}}$ خارج اللوغاريتم.

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{x^{2}} \ln (x)}$

خطوة 2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

انقُل النهاية إلى الأُس.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} \ln (x)}$

خطوة 2.2

اجمع $\frac{1}{x^{2}}$ و $\ln (x)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{x^{2}}}$

خطوة 3

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}$

خطوة 3.1.2

عند اقتراب اللوغاريتم من ما لا نهاية، تتجه القيمة إلى $\infty$ .

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}$

خطوة 3.1.3

النهاية عند ما لا نهاية متعدد حدود معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

خطوة 3.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

خطوة 3.2

بما أن $\frac{\infty}{\infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

خطوة 3.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

خطوة 3.3.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

خطوة 3.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{2 x}}$

خطوة 3.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2 x}}$

خطوة 3.5

جمّع العوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

اضرب $\frac{1}{x}$ في $\frac{1}{2 x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x \cdot 2 x}}$

خطوة 3.5.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{1} x}}$

خطوة 3.5.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{1} x^{1}}}$

خطوة 3.5.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{1 + 1}}}$

خطوة 3.5.5

أضف $1$ و $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{2}}}$

خطوة 4

انقُل الحد $\frac{1}{2}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

خطوة 5

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x^{2}}$ يقترب من $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot 0}$

خطوة 6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $0$ .

$e^{0}$

خطوة 6.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$1$