حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${(4 x^{2} - 3)}^{2} {(x + 5)}^{3}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = {(4 x^{2} - 3)}^{2}$ و $g (x) = {(x + 5)}^{3}$ .

${(4 x^{2} - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{3}] + {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = x + 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x + 5$ .

${(4 x^{2} - 3)}^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [x + 5]) + {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

${(4 x^{2} - 3)}^{2} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [x + 5]) + {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x + 5$ .

${(4 x^{2} - 3)}^{2} (3 {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 5]) + {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل $3$ إلى يسار ${(4 x^{2} - 3)}^{2}$ .

$3 \cdot {(4 x^{2} - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 5] + {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$3 {(4 x^{2} - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 {(4 x^{2} - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [5]) + {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

خطوة 3.4

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 {(4 x^{2} - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} (1 + 0) + {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

خطوة 3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أضف $1$ و $0$ .

$3 {(4 x^{2} - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} \cdot 1 + {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

خطوة 3.5.2

اضرب $3$ في $1$ .

$3 {(4 x^{2} - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} + {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = 4 x^{2} - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $4 x^{2} - 3$ .

$3 {(4 x^{2} - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} + {(x + 5)}^{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3])$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 {(4 x^{2} - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} + {(x + 5)}^{3} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3])$

خطوة 4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $4 x^{2} - 3$ .

$3 {(4 x^{2} - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} + {(x + 5)}^{3} (2 (4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3])$

خطوة 5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل $2$ إلى يسار ${(x + 5)}^{3}$ .

$3 {(4 x^{2} - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} + 2 \cdot {(x + 5)}^{3} (4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3]$

خطوة 5.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x^{2} - 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$3 {(4 x^{2} - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} (4 x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

خطوة 5.3

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 {(4 x^{2} - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} (4 x^{2} - 3) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

خطوة 5.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 {(4 x^{2} - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} (4 x^{2} - 3) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3])$

خطوة 5.5

اضرب $2$ في $4$ .

$3 {(4 x^{2} - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} (4 x^{2} - 3) (8 x + \frac{d}{d x} [- 3])$

خطوة 5.6

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 {(4 x^{2} - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} (4 x^{2} - 3) (8 x + 0)$

خطوة 5.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.1

أضف $8 x$ و $0$ .

$3 {(4 x^{2} - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} (4 x^{2} - 3) (8 x)$

خطوة 5.7.2

اضرب $8$ في $2$ .

$3 {(4 x^{2} - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} + 16 {(x + 5)}^{3} (4 x^{2} - 3) x$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أخرِج العامل $(4 x^{2} - 3) {(x + 5)}^{2}$ من $3 {(4 x^{2} - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} + 16 {(x + 5)}^{3} (4 x^{2} - 3) x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أخرِج العامل $(4 x^{2} - 3) {(x + 5)}^{2}$ من $3 {(4 x^{2} - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2}$ .

$(4 x^{2} - 3) {(x + 5)}^{2} (3 (4 x^{2} - 3)) + 16 {(x + 5)}^{3} (4 x^{2} - 3) x$

خطوة 6.1.2

أخرِج العامل $(4 x^{2} - 3) {(x + 5)}^{2}$ من $16 {(x + 5)}^{3} (4 x^{2} - 3) x$ .

$(4 x^{2} - 3) {(x + 5)}^{2} (3 (4 x^{2} - 3)) + (4 x^{2} - 3) {(x + 5)}^{2} (16 (x + 5) x)$

خطوة 6.1.3

أخرِج العامل $(4 x^{2} - 3) {(x + 5)}^{2}$ من $(4 x^{2} - 3) {(x + 5)}^{2} (3 (4 x^{2} - 3)) + (4 x^{2} - 3) {(x + 5)}^{2} (16 (x + 5) x)$ .

$(4 x^{2} - 3) {(x + 5)}^{2} (3 (4 x^{2} - 3) + 16 (x + 5) x)$

خطوة 6.2

أعِد ترتيب عوامل $(4 x^{2} - 3) {(x + 5)}^{2} (3 (4 x^{2} - 3) + 16 (x + 5) x)$ .

${(x + 5)}^{2} (3 (4 x^{2} - 3) + 16 (x + 5) x) (4 x^{2} - 3)$