حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y - 2 y^{2} = - x^{3} - y^{3}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y - 2 y^{2}) = \frac{d}{d x} (- x^{3} - y^{3})$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y - 2 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

خطوة 2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$y' + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$y' - 2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$y' - 2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$y' - 2 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$y' - 2 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$y' - 2 (2 y y')$

خطوة 2.3.4

اضرب $2$ في $- 2$ .

$y' - 4 y y'$

خطوة 2.4

أعِد ترتيب الحدود.

$- 4 y y' + y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- x^{3} - y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

خطوة 3.2.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- 3 x^{2} - \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$- 3 x^{2} - (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$- 3 x^{2} - (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$- 3 x^{2} - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$- 3 x^{2} - (3 y^{2} y')$

خطوة 3.3.4

اضرب $3$ في $- 1$ .

$- 3 x^{2} - 3 y^{2} y'$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$- 4 y y' + y' = - 3 x^{2} - 3 y^{2} y'$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أضف $3 y^{2} y'$ إلى كلا المتعادلين.

$- 4 y y' + y' + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

خطوة 5.2

أخرِج العامل $y'$ من $- 4 y y' + y' + 3 y^{2} y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $y'$ من $- 4 y y'$ .

$y' (- 4 y) + y' + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

خطوة 5.2.2

ارفع $y'$ إلى القوة $1$ .

$y' (- 4 y) + y' + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

خطوة 5.2.3

أخرِج العامل $y'$ من ${y'}^{1}$ .

$y' (- 4 y) + y' \cdot 1 + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

خطوة 5.2.4

أخرِج العامل $y'$ من $3 y^{2} y'$ .

$y' (- 4 y) + y' \cdot 1 + y' (3 y^{2}) = - 3 x^{2}$

خطوة 5.2.5

أخرِج العامل $y'$ من $y' (- 4 y) + y' \cdot 1$ .

$y' (- 4 y + 1) + y' (3 y^{2}) = - 3 x^{2}$

خطوة 5.2.6

أخرِج العامل $y'$ من $y' (- 4 y + 1) + y' (3 y^{2})$ .

$y' (- 4 y + 1 + 3 y^{2}) = - 3 x^{2}$

خطوة 5.3

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1

أعِد ترتيب الحدود.

$y' (3 y^{2} - 4 y + 1) = - 3 x^{2}$

خطوة 5.3.1.2

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ ومجموعهما $b = - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.2.1

أخرِج العامل $- 4$ من $- 4 y$ .

$y' (3 y^{2} - 4 y + 1) = - 3 x^{2}$

خطوة 5.3.1.2.2

أعِد كتابة $- 4$ في صورة $- 1$ زائد $- 3$

$y' (3 y^{2} + (- 1 - 3) y + 1) = - 3 x^{2}$

خطوة 5.3.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y' (3 y^{2} - 1 y - 3 y + 1) = - 3 x^{2}$

خطوة 5.3.1.3

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.3.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$y' ((3 y^{2} - 1 y) - 3 y + 1) = - 3 x^{2}$

خطوة 5.3.1.3.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$y' (y (3 y - 1) - (3 y - 1)) = - 3 x^{2}$

خطوة 5.3.1.4

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $3 y - 1$ .

$y' ((3 y - 1) (y - 1)) = - 3 x^{2}$

خطوة 5.3.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$y' (3 y - 1) (y - 1) = - 3 x^{2}$

خطوة 5.4

اقسِم كل حد في $y' (3 y - 1) (y - 1) = - 3 x^{2}$ على $(3 y - 1) (y - 1)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اقسِم كل حد في $y' (3 y - 1) (y - 1) = - 3 x^{2}$ على $(3 y - 1) (y - 1)$ .

$\frac{y' (3 y - 1) (y - 1)}{(3 y - 1) (y - 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3 y - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (3 y - 1) (y - 1)}{(3 y - 1) (y - 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

خطوة 5.4.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (y - 1)}{y - 1} = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

خطوة 5.4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (y - 1)}{y - 1} = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

خطوة 5.4.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

خطوة 5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$