حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{\cos (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 1

اكتب $\frac{\cos (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{\cos (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{\cos (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}} d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u = 2 + \sin (x)$ . إذن $d u = \cos (x) d x$ ، لذا $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = 2 + \sin (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $2 + \sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2 + \sin (x)]$

خطوة 4.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 + \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 4.1.2.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 4.1.3

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$0 + \cos (x)$

خطوة 4.1.4

أضف $0$ و $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} d u$

خطوة 5

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل $u^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u$

خطوة 5.2

اضرب الأُسس في ${(u^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{2 \cdot - 1} d u$

خطوة 5.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\int u^{- 2} d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- 2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1} + C$

خطوة 7

أعِد كتابة $- u^{- 1} + C$ بالصيغة $- \frac{1}{u} + C$ .

$- \frac{1}{u} + C$

خطوة 8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 + \sin (x)$ .

$- \frac{1}{2 + \sin (x)} + C$

خطوة 9

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{\cos (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2 + \sin (x)} + C$