حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x$

خطوة 1

طبّق القاعدة $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ لإعادة كتابة الأُس في صورة جذر.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(1 - x^{2})}^{3}}} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $x = \sin (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = \cos (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $\cos (t)$ موجبة.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(1 - \sin^{2} (t))}^{3}}} \cos (t) d t$

خطوة 3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط $\sqrt{{(1 - \sin^{2} (t))}^{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\cos^{2} (t))}^{3}}} \cos (t) d t$

خطوة 3.1.2

اضرب الأُسس في ${(\cos^{2} (t))}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{\cos (t)}^{2 \cdot 3}}} \cos (t) d t$

خطوة 3.1.2.2

اضرب $2$ في $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{\cos^{6} (t)}} \cos (t) d t$

خطوة 3.1.3

أعِد كتابة $\cos^{6} (t)$ بالصيغة ${(\cos^{3} (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\cos^{3} (t))}^{2}}} \cos (t) d t$

خطوة 3.1.4

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int \frac{1}{\cos^{3} (t)} \cos (t) d t$

خطوة 3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أخرِج العامل $\cos (t)$ من $\cos^{3} (t)$ .

$\int \frac{1}{\cos (t) \cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

خطوة 3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{1}{\cos (t) \cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

خطوة 3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (t)} d t$

خطوة 4

حوّل من $\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ إلى $\sec^{2} (t)$ .

$\int \sec^{2} (t) d t$

خطوة 5

بما أن مشتق $\tan (t)$ هو $\sec^{2} (t)$ ، إذن تكامل $\sec^{2} (t)$ هو $\tan (t)$ .

$\tan (t) + C$

خطوة 6

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $\arcsin (x)$ .

$\tan (\arcsin (x)) + C$