حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int 3 x {(2 x - 1)}^{2} d x$

خطوة 1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$3 \int x {(2 x - 1)}^{2} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = 2 x - 1$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = 2 x - 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

خطوة 2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 + 0$

خطوة 2.1.4.2

أضف $2$ و $0$ .

$2$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$3 \int (\frac{u}{2} + \frac{1}{2}) u^{2} \frac{1}{2} d u$

خطوة 3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $u^{2}$ .

$3 \int (\frac{u}{2} + \frac{1}{2}) \frac{u^{2}}{2} d u$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$3 \int \frac{u}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} d u$

خطوة 4.2

اضرب $\frac{u}{2}$ في $\frac{u^{2}}{2}$ .

$3 \int \frac{u \cdot u^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} d u$

خطوة 4.3

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$3 \int \frac{u^{1} u^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} d u$

خطوة 4.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$3 \int \frac{u^{1 + 2}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} d u$

خطوة 4.5

أضف $1$ و $2$ .

$3 \int \frac{u^{3}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} d u$

خطوة 4.6

اضرب $2$ في $2$ .

$3 \int \frac{u^{3}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} d u$

خطوة 4.7

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{u^{2}}{2}$ .

$3 \int \frac{u^{3}}{4} + \frac{u^{2}}{2 \cdot 2} d u$

خطوة 4.8

اضرب $2$ في $2$ .

$3 \int \frac{u^{3}}{4} + \frac{u^{2}}{4} d u$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$3 (\int \frac{u^{3}}{4} d u + \int \frac{u^{2}}{4} d u)$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$3 (\frac{1}{4} \int u^{3} d u + \int \frac{u^{2}}{4} d u)$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{3}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$3 (\frac{1}{4} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int \frac{u^{2}}{4} d u)$

خطوة 8

اجمع $\frac{1}{4}$ و $u^{4}$ .

$3 (\frac{1}{4} (\frac{u^{4}}{4} + C) + \int \frac{u^{2}}{4} d u)$

خطوة 9

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$3 (\frac{1}{4} (\frac{u^{4}}{4} + C) + \frac{1}{4} \int u^{2} d u)$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$3 (\frac{1}{4} (\frac{u^{4}}{4} + C) + \frac{1}{4} (\frac{1}{3} u^{3} + C))$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $u^{3}$ .

$3 (\frac{1}{4} (\frac{u^{4}}{4} + C) + \frac{1}{4} (\frac{u^{3}}{3} + C))$

خطوة 11.2

بسّط.

$3 (\frac{u^{4}}{16} + \frac{u^{3}}{12}) + C$

خطوة 12

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x - 1$ .

$3 (\frac{{(2 x - 1)}^{4}}{16} + \frac{{(2 x - 1)}^{3}}{12}) + C$

خطوة 13

أعِد ترتيب الحدود.

$3 (\frac{1}{16} {(2 x - 1)}^{4} + \frac{1}{12} {(2 x - 1)}^{3}) + C$