حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x y^{2} + 4 + y = - x^{3}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x y^{2} + 4 + y) = \frac{d}{d x} (- x^{3})$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x y^{2} + 4 + y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x (2 y y') + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.2.5

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.2.6

اضرب $y^{2}$ في $1$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.3

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x y y' + y^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 x y y' + y^{2} + 0 + y'$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أضف $2 x y y' + y^{2}$ و $0$ .

$2 x y y' + y^{2} + y'$

خطوة 2.5.2

أعِد ترتيب الحدود.

$y^{2} + 2 x y y' + y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$- (3 x^{2})$

خطوة 3.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$- 3 x^{2}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y^{2} + 2 x y y' + y' = - 3 x^{2}$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اطرح $y^{2}$ من كلا المتعادلين.

$2 x y y' + y' = - 3 x^{2} - y^{2}$

خطوة 5.2

أخرِج العامل $y'$ من $2 x y y' + y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $y'$ من $2 x y y'$ .

$y' (2 x y) + y' = - 3 x^{2} - y^{2}$

خطوة 5.2.2

ارفع $y'$ إلى القوة $1$ .

$y' (2 x y) + y' = - 3 x^{2} - y^{2}$

خطوة 5.2.3

أخرِج العامل $y'$ من ${y'}^{1}$ .

$y' (2 x y) + y' \cdot 1 = - 3 x^{2} - y^{2}$

خطوة 5.2.4

أخرِج العامل $y'$ من $y' (2 x y) + y' \cdot 1$ .

$y' (2 x y + 1) = - 3 x^{2} - y^{2}$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $y' (2 x y + 1) = - 3 x^{2} - y^{2}$ على $2 x y + 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $y' (2 x y + 1) = - 3 x^{2} - y^{2}$ على $2 x y + 1$ .

$\frac{y' (2 x y + 1)}{2 x y + 1} = \frac{- 3 x^{2}}{2 x y + 1} + \frac{- y^{2}}{2 x y + 1}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2 x y + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (2 x y + 1)}{2 x y + 1} = \frac{- 3 x^{2}}{2 x y + 1} + \frac{- y^{2}}{2 x y + 1}$

خطوة 5.3.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{2 x y + 1} + \frac{- y^{2}}{2 x y + 1}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{- 3 x^{2} - y^{2}}{2 x y + 1}$

خطوة 5.3.3.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2}) - y^{2}}{2 x y + 1}$

خطوة 5.3.3.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- y^{2}$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2}) - (y^{2})}{2 x y + 1}$

خطوة 5.3.3.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (3 x^{2}) - (y^{2})$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2} + y^{2})}{2 x y + 1}$

خطوة 5.3.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.5.1

أعِد كتابة $- (3 x^{2} + y^{2})$ بالصيغة $- 1 (3 x^{2} + y^{2})$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} + y^{2})}{2 x y + 1}$

خطوة 5.3.3.5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{3 x^{2} + y^{2}}{2 x y + 1}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2} + y^{2}}{2 x y + 1}$