حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y^{x y}$

خطوة 1

استخدِم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط الاشتقاق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة $y^{x y}$ بالصيغة $e^{\ln (y^{x y})}$ .

$\frac{d}{d y} [e^{\ln (y^{x y})}]$

خطوة 1.2

وسّع $\ln (y^{x y})$ بنقل $x y$ خارج اللوغاريتم.

$\frac{d}{d y} [e^{x y \ln (y)}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = e^{y}$ و $g (y) = x y \ln (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x y \ln (y)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y \ln (y)]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d y} [x y \ln (y)]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x y \ln (y)$ .

$e^{x y \ln (y)} \frac{d}{d y} [x y \ln (y)]$

خطوة 3

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $x y \ln (y)$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x \frac{d}{d y} [y \ln (y)]$ .

$e^{x y \ln (y)} (x \frac{d}{d y} [y \ln (y)])$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ هو $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ حيث $f (y) = y$ و $g (y) = \ln (y)$ .

$e^{x y \ln (y)} (x (y \frac{d}{d y} [\ln (y)] + \ln (y) \frac{d}{d y} [y]))$

خطوة 5

مشتق $\ln (y)$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $\frac{1}{y}$ .

$e^{x y \ln (y)} (x (y \frac{1}{y} + \ln (y) \frac{d}{d y} [y]))$

خطوة 6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اجمع $y$ و $\frac{1}{y}$ .

$e^{x y \ln (y)} (x (\frac{y}{y} + \ln (y) \frac{d}{d y} [y]))$

خطوة 6.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$e^{x y \ln (y)} (x (\frac{y}{y} + \ln (y) \frac{d}{d y} [y]))$

خطوة 6.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{x y \ln (y)} (x (1 + \ln (y) \frac{d}{d y} [y]))$

خطوة 6.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{x y \ln (y)} (x (1 + \ln (y) \cdot 1))$

خطوة 6.4

اضرب $\ln (y)$ في $1$ .

$e^{x y \ln (y)} (x (1 + \ln (y)))$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{x y \ln (y)} (x \cdot 1 + x \ln (y))$

خطوة 7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{x y \ln (y)} (x \cdot 1) + e^{x y \ln (y)} (x \ln (y))$

خطوة 7.3

اضرب $x$ في $1$ .

$e^{x y \ln (y)} x + e^{x y \ln (y)} (x \ln (y))$

خطوة 7.4

أعِد ترتيب الحدود.

$e^{x y \ln (y)} x + e^{x y \ln (y)} x \ln (y)$