حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{2} (\frac{x}{2} - \frac{2}{x}) d x$

خطوة 1

احذِف الأقواس.

$\int_{1}^{2} \frac{x}{2} - \frac{2}{x} d x$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{1}^{2} \frac{x}{2} d x + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x} d x$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} x d x + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x} d x$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x} d x$

خطوة 5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{2}{x} d x$

خطوة 6

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} - (2 \int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x)$

خطوة 7

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} - 2 \int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x$

خطوة 8

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} - 2 (\ln (| x |)]_{1}^{2})$

خطوة 9

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

احسِب قيمة $\frac{1}{2} x^{2}$ في $2$ وفي $1$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - 2 (\ln (| x |)]_{1}^{2})$

خطوة 9.1.2

احسِب قيمة $\ln (| x |)$ في $2$ وفي $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 9.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.3.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 4 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 9.1.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 9.1.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.3.3.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 9.1.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.3.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 9.1.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 9.1.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{1} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 9.1.3.3.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$\frac{1}{2} (2 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 9.1.3.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{2} (2 - \frac{1}{2} \cdot 1) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 9.1.3.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{2} (2 - \frac{1}{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 9.1.3.6

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 9.1.3.7

اجمع $2$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 9.1.3.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2 - 1}{2} - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 9.1.3.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.3.9.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 - 1}{2} - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 9.1.3.9.2

اطرح $1$ من $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 9.1.3.10

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2} - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 9.1.3.11

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{3}{4} - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 9.1.3.12

لكتابة $- 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot \frac{4}{4}$

خطوة 9.1.3.13

اجمع $- 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$ و $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} + \frac{- 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 4}{4}$

خطوة 9.1.3.14

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{3 - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 4}{4}$

خطوة 9.1.3.15

اضرب $4$ في $- 2$ .

$\frac{3 - 8 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))}{4}$

خطوة 9.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{3 - 8 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{4}$

خطوة 9.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $2$ تساوي $2$ .

$\frac{3 - 8 \ln (\frac{2}{| 1 |})}{4}$

خطوة 9.3.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{3 - 8 \ln (\frac{2}{1})}{4}$

خطوة 9.3.3

اقسِم $2$ على $1$ .

$\frac{3 - 8 \ln (2)}{4}$

خطوة 10

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{3 - 8 \ln (2)}{4}$

الصيغة العشرية:

$- 0.63629436 \dots$

خطوة 11