حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{4} \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = x - 2$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = x - 2$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 1.1.4

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 1.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = x - 2$ .

$u_{lower} = 0 - 2$

خطوة 1.3

اطرح $2$ من $0$ .

$u_{lower} = - 2$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = x - 2$ .

$u_{upper} = 4 - 2$

خطوة 1.5

اطرح $2$ من $4$ .

$u_{upper} = 2$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = 2$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{- 2}^{2} \frac{1}{u^{2}} d u$

خطوة 2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

انقُل $u^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int_{- 2}^{2} {(u^{2})}^{- 1} d u$

خطوة 2.2

اضرب الأُسس في ${(u^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{- 2}^{2} u^{2 \cdot - 1} d u$

خطوة 2.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\int_{- 2}^{2} u^{- 2} d u$

خطوة 3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- 2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1}]_{- 2}^{2}$

خطوة 4

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب قيمة $- u^{- 1}$ في $2$ وفي $- 2$ .

$(- 2^{- 1}) + {(- 2)}^{- 1}$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2} + {(- 2)}^{- 1}$

خطوة 4.2.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{1}{- 2}$

خطوة 4.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

خطوة 4.2.4

اطرح $\frac{1}{2}$ من $- \frac{1}{2}$ .

$- 2 (\frac{1}{2})$

خطوة 4.2.5

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 2}{2}$

خطوة 4.2.6

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2}$

خطوة 4.2.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

خطوة 4.2.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1}{1}$

خطوة 4.2.6.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$- 1$

خطوة 5