حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = {(x^{3} + 2 x + 1)}^{5}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x^{3} + 2 x + 1)}^{5})$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{5}$ و $g (x) = x^{3} + 2 x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{3} + 2 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x + 1]$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x + 1]$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{3} + 2 x + 1$ .

$5 {(x^{3} + 2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x + 1]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} + 2 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$5 {(x^{3} + 2 x + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$5 {(x^{3} + 2 x + 1)}^{4} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 3.2.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 {(x^{3} + 2 x + 1)}^{4} (3 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 3.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 {(x^{3} + 2 x + 1)}^{4} (3 x^{2} + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 3.2.5

اضرب $2$ في $1$ .

$5 {(x^{3} + 2 x + 1)}^{4} (3 x^{2} + 2 + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 3.2.6

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$5 {(x^{3} + 2 x + 1)}^{4} (3 x^{2} + 2 + 0)$

خطوة 3.2.7

أضف $3 x^{2} + 2$ و $0$ .

$5 {(x^{3} + 2 x + 1)}^{4} (3 x^{2} + 2)$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = 5 {(x^{3} + 2 x + 1)}^{4} (3 x^{2} + 2)$

خطوة 5

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 5 {(x^{3} + 2 x + 1)}^{4} (3 x^{2} + 2)$