حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sin^{2} (x) \cdot \cos^{3} (x)$

خطوة 1

اكتب $\sin^{2} (x) \cdot \cos^{3} (x)$ في صورة دالة.

$f (x) = \sin^{2} (x) \cdot \cos^{3} (x)$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \sin^{2} (x) \cdot \cos^{3} (x) d x$

خطوة 4

أخرِج عامل $\cos^{2} (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) \cdot (\cos^{2} (x) \cos (x)) d x$

خطوة 5

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\cos^{2} (x)$ بحيث تصبح $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) \cdot ((1 - \sin^{2} (x)) \cos (x)) d x$

خطوة 6

اضرب $\sin^{2} (x)$ في $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) (1 - \sin^{2} (x)) \cos (x) d x$

خطوة 7

لنفترض أن $u = \sin (x)$ . إذن $d u = \cos (x) d x$ ، لذا $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

افترض أن $u = \sin (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أوجِد مشتقة $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 7.1.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

خطوة 7.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int u^{2} (1 - u^{2}) d u$

خطوة 8

اضرب $u^{2} (1 - u^{2})$ .

$\int u^{2} \cdot 1 + u^{2} (- u^{2}) d u$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اضرب $u^{2}$ في $1$ .

$\int u^{2} + u^{2} (- u^{2}) d u$

خطوة 9.2

اضرب $u^{2}$ في $u^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

انقُل $u^{2}$ .

$\int u^{2} + u^{2} u^{2} \cdot - 1 d u$

خطوة 9.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int u^{2} + u^{2 + 2} \cdot - 1 d u$

خطوة 9.2.3

أضف $2$ و $2$ .

$\int u^{2} + u^{4} \cdot - 1 d u$

خطوة 9.3

انقُل $- 1$ إلى يسار $u^{4}$ .

$\int u^{2} - 1 \cdot u^{4} d u$

خطوة 9.4

أعِد كتابة $- 1 u^{4}$ بالصيغة $- u^{4}$ .

$\int u^{2} - u^{4} d u$

خطوة 10

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int u^{2} d u + \int - u^{4} d u$

خطوة 11

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C + \int - u^{4} d u$

خطوة 12

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - \int u^{4} d u$

خطوة 13

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{4}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C - (\frac{1}{5} u^{5} + C)$

خطوة 14

بسّط.

$\frac{1}{3} u^{3} - \frac{1}{5} u^{5} + C$

خطوة 15

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sin (x)$ .

$\frac{1}{3} \sin^{3} (x) - \frac{1}{5} \sin^{5} (x) + C$

خطوة 16

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \sin^{2} (x) \cdot \cos^{3} (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} \sin^{3} (x) - \frac{1}{5} \sin^{5} (x) + C$