حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 5 e^{2 x + 3} + 4 x^{2}$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 2

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int 5 e^{2 x + 3} + 4 x^{2} d x$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int 5 e^{2 x + 3} d x + \int 4 x^{2} d x$

خطوة 4

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$5 \int e^{2 x + 3} d x + \int 4 x^{2} d x$

خطوة 5

لنفترض أن $u = 2 x + 3$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = 2 x + 3$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $2 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 3]$

خطوة 5.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 5.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 5.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 5.1.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 5.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.4.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 + 0$

خطوة 5.1.4.2

أضف $2$ و $0$ .

$2$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$5 \int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int 4 x^{2} d x$

خطوة 6

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$5 \int \frac{e^{u}}{2} d u + \int 4 x^{2} d x$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$5 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u) + \int 4 x^{2} d x$

خطوة 8

اجمع $\frac{1}{2}$ و $5$ .

$\frac{5}{2} \int e^{u} d u + \int 4 x^{2} d x$

خطوة 9

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$\frac{5}{2} (e^{u} + C) + \int 4 x^{2} d x$

خطوة 10

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$\frac{5}{2} (e^{u} + C) + 4 \int x^{2} d x$

خطوة 11

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{5}{2} (e^{u} + C) + 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

بسّط.

$\frac{5}{2} e^{u} + 4 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

خطوة 12.2

اجمع $4$ و $\frac{1}{3}$ .

$\frac{5}{2} e^{u} + \frac{4}{3} x^{3} + C$

خطوة 13

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x + 3$ .

$\frac{5}{2} e^{2 x + 3} + \frac{4}{3} x^{3} + C$

خطوة 14

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = 5 e^{2 x + 3} + 4 x^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{5}{2} e^{2 x + 3} + \frac{4}{3} x^{3} + C$