حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{4 x + 2}{x^{2} + x + 5} d x$

خطوة 1

أخرِج العامل $2$ من $4 x + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $2$ من $4 x$ .

$\int \frac{2 (2 x) + 2}{x^{2} + x + 5} d x$

خطوة 1.2

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\int \frac{2 (2 x) + 2 (1)}{x^{2} + x + 5} d x$

خطوة 1.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (2 x) + 2 (1)$ .

$\int \frac{2 (2 x + 1)}{x^{2} + x + 5} d x$

خطوة 2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int \frac{2 x + 1}{x^{2} + x + 5} d x$

خطوة 3

لنفترض أن $u = x^{2} + x + 5$ . إذن $d u = (2 x + 1) d x$ ، لذا $\frac{1}{2 x + 1} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u = x^{2} + x + 5$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2} + x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x + 5]$

خطوة 3.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + x + 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 3.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 3.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 x + 1 + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 3.1.5

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 1 + 0$

خطوة 3.1.6

أضف $2 x + 1$ و $0$ .

$2 x + 1$

خطوة 3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 4

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$2 (\ln (| u |) + C)$

خطوة 5

بسّط.

$2 \ln (| u |) + C$

خطوة 6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + x + 5$ .

$2 \ln (| x^{2} + x + 5 |) + C$