حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = - 4 \cos (x + \frac{π}{4})$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 \cos (x + \frac{π}{4})$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [\cos (x + \frac{π}{4})]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\cos (x + \frac{π}{4})]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = x + \frac{π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + \frac{π}{4}$ .

$- 4 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}])$

خطوة 1.2.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$- 4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}])$

خطوة 1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + \frac{π}{4}$ .

$- 4 (- \sin (x + \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}])$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$4 (\sin (x + \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}])$

خطوة 1.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + \frac{π}{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$ .

$4 \sin (x + \frac{π}{4}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

خطوة 1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 \sin (x + \frac{π}{4}) (1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

خطوة 1.3.4

بما أن $\frac{π}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $\frac{π}{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 \sin (x + \frac{π}{4}) (1 + 0)$

خطوة 1.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.1

أضف $1$ و $0$ .

$4 \sin (x + \frac{π}{4}) \cdot 1$

خطوة 1.3.5.2

اضرب $4$ في $1$ .

$4 \sin (x + \frac{π}{4})$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 \sin (x + \frac{π}{4})$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [\sin (x + \frac{π}{4})]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\sin (x + \frac{π}{4}))$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = x + \frac{π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + \frac{π}{4}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{4}))$

خطوة 2.2.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (u) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{4}))$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + \frac{π}{4}$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (x + \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{4}))$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + \frac{π}{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$ .

$f'' (x) = 4 \cos (x + \frac{π}{4}) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{π}{4}))$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 \cos (x + \frac{π}{4}) (1 + \frac{d}{d x} (\frac{π}{4}))$

خطوة 2.3.3

بما أن $\frac{π}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $\frac{π}{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 4 \cos (x + \frac{π}{4}) (1 + 0)$

خطوة 2.3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$f'' (x) = 4 \cos (x + \frac{π}{4}) \cdot 1$

خطوة 2.3.4.2

اضرب $4$ في $1$ .

$f'' (x) = 4 \cos (x + \frac{π}{4})$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$4 \sin (x + \frac{π}{4}) = 0$

خطوة 4

اقسِم كل حد في $4 \sin (x + \frac{π}{4}) = 0$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اقسِم كل حد في $4 \sin (x + \frac{π}{4}) = 0$ على $4$ .

$\frac{4 \sin (x + \frac{π}{4})}{4} = \frac{0}{4}$

خطوة 4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 \sin (x + \frac{π}{4})}{4} = \frac{0}{4}$

خطوة 4.2.1.2

اقسِم $\sin (x + \frac{π}{4})$ على $1$ .

$\sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{0}{4}$

خطوة 4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اقسِم $0$ على $4$ .

$\sin (x + \frac{π}{4}) = 0$

خطوة 5

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x + \frac{π}{4} = \arcsin (0)$

خطوة 6

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (0)$ هي $0$ .

$x + \frac{π}{4} = 0$

خطوة 7

اطرح $\frac{π}{4}$ من كلا المتعادلين.

$x = - \frac{π}{4}$

خطوة 8

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$x + \frac{π}{4} = π - 0$

خطوة 9

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اطرح $0$ من $π$ .

$x + \frac{π}{4} = π$

خطوة 9.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اطرح $\frac{π}{4}$ من كلا المتعادلين.

$x = π - \frac{π}{4}$

خطوة 9.2.2

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

خطوة 9.2.3

اجمع $π$ و $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

خطوة 9.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

خطوة 9.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.5.1

انقُل $4$ إلى يسار $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

خطوة 9.2.5.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

خطوة 10

حل المعادلة $x + \frac{π}{4} = 0$ .

$x = - \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

خطوة 11

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = - \frac{π}{4}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$4 \cos ((- \frac{π}{4}) + \frac{π}{4})$

خطوة 12

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$4 \cos (\frac{- π + π}{4})$

خطوة 12.2

أضف $- π$ و $π$ .

$4 \cos (\frac{0}{4})$

خطوة 12.3

اقسِم $0$ على $4$ .

$4 \cos (0)$

خطوة 12.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$4 \cdot 1$

خطوة 12.5

اضرب $4$ في $1$ .

$4$

خطوة 13

$x = - \frac{π}{4}$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = - \frac{π}{4}$ هي حد أدنى محلي

خطوة 14

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = - \frac{π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{π}{4}$ في العبارة.

$f (- \frac{π}{4}) = - 4 \cos ((- \frac{π}{4}) + \frac{π}{4})$

خطوة 14.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- \frac{π}{4}) = - 4 \cos (\frac{- π + π}{4})$

خطوة 14.2.2

أضف $- π$ و $π$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - 4 \cos (\frac{0}{4})$

خطوة 14.2.3

اقسِم $0$ على $4$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - 4 \cos (0)$

خطوة 14.2.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - 4 \cdot 1$

خطوة 14.2.5

اضرب $- 4$ في $1$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - 4$

خطوة 14.2.6

الإجابة النهائية هي $- 4$ .

$y = - 4$

خطوة 15

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{3 π}{4}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$4 \cos ((\frac{3 π}{4}) + \frac{π}{4})$

خطوة 16

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$4 \cos (\frac{3 π + π}{4})$

خطوة 16.2

أضف $3 π$ و $π$ .

$4 \cos (\frac{4 π}{4})$

خطوة 16.3

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$4 \cos (\frac{4 π}{4})$

خطوة 16.3.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$4 \cos (π)$

خطوة 16.4

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$4 (- \cos (0))$

خطوة 16.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$4 (- 1 \cdot 1)$

خطوة 16.6

اضرب $4 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.6.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$4 \cdot - 1$

خطوة 16.6.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$- 4$

خطوة 17

$x = \frac{3 π}{4}$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \frac{3 π}{4}$ هي حد أقصى محلي

خطوة 18

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \frac{3 π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{3 π}{4}$ في العبارة.

$f (\frac{3 π}{4}) = - 4 \cos ((\frac{3 π}{4}) + \frac{π}{4})$

خطوة 18.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{3 π}{4}) = - 4 \cos (\frac{3 π + π}{4})$

خطوة 18.2.2

أضف $3 π$ و $π$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 4 \cos (\frac{4 π}{4})$

خطوة 18.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{3 π}{4}) = - 4 \cos (\frac{4 π}{4})$

خطوة 18.2.3.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 4 \cos (π)$

خطوة 18.2.4

$f (\frac{3 π}{4}) = - 4 (- \cos (0))$

خطوة 18.2.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 4 (- 1 \cdot 1)$

خطوة 18.2.6

اضرب $- 4 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.2.6.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 4 \cdot - 1$

خطوة 18.2.6.2

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 4$

خطوة 18.2.7

الإجابة النهائية هي $4$ .

$y = 4$

خطوة 19

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = - 4 \cos (x + \frac{π}{4})$ .

$(- \frac{π}{4}, - 4)$ هي نقاط دنيا محلية

$(\frac{3 π}{4}, 4)$ هي نقطة قصوى محلية

خطوة 20