حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$g (x) = 5 \sqrt[3]{x^{2}} - \frac{1}{2 \sqrt{x}} + π$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $G (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $g (x)$ .

$G (x) = \int g (x) d x$

خطوة 2

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$G (x) = \int 5 \sqrt[3]{x^{2}} - \frac{1}{2 \sqrt{x}} + π d x$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int 5 \sqrt[3]{x^{2}} d x + \int - \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x + \int π d x$

خطوة 4

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$5 \int \sqrt[3]{x^{2}} d x + \int - \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x + \int π d x$

خطوة 5

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{x^{2}}$ في صورة $x^{\frac{2}{3}}$ .

$5 \int x^{\frac{2}{3}} d x + \int - \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x + \int π d x$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{\frac{2}{3}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$5 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C) + \int - \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x + \int π d x$

خطوة 7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$5 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C) - \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x + \int π d x$

خطوة 8

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$5 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C) - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x) + \int π d x$

خطوة 9

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اجمع $\frac{3}{5}$ و $x^{\frac{5}{3}}$ .

$5 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} + C) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int π d x$

خطوة 9.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} + C) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int π d x$

خطوة 9.2.2

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$5 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} + C) - \frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int π d x$

خطوة 9.2.3

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} + C) - \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int π d x$

خطوة 9.2.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$5 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} + C) - \frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int π d x$

خطوة 9.2.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$5 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} + C) - \frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int π d x$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} + C) - \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int π d x$

خطوة 11

طبّق قاعدة الثابت.

$5 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} + C) - \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + π x + C$

خطوة 12

بسّط.

$3 x^{\frac{5}{3}} - x^{\frac{1}{2}} + π x + C$

خطوة 13

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $g (x) = 5 \sqrt[3]{x^{2}} - \frac{1}{2 \sqrt{x}} + π$ .

$G (x) =$ $3 x^{\frac{5}{3}} - x^{\frac{1}{2}} + π x + C$