حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (n x)}{\sin (x)}$

خطوة 1

طبّق المتطابقات المثلثية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة $\tan (n x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin (n x)}{\cos (n x)}}{\sin (x)}$

خطوة 1.2

أعِد كتابة $\frac{\frac{\sin (n x)}{\cos (n x)}}{\sin (x)}$ في صورة حاصل ضرب.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (n x)}{\cos (n x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

حوّل من $\frac{\sin (n x)}{\cos (n x)}$ إلى $\tan (n x)$ .

$lim_{x \to 0} \tan (n x) \frac{1}{\sin (x)}$

خطوة 1.3.2

حوّل من $\frac{1}{\sin (x)}$ إلى $\csc (x)$ .

$lim_{x \to 0} \tan (n x) \csc (x)$

خطوة 2

عيّن الحد في صورة حد أيسر الجانب.

$lim_{x \to 0^{-}} \tan (n x) \csc (x)$

خطوة 3

احسِب قيمة الحد أيسر الجانب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة $\tan (n x) \csc (x)$ بالصيغة $\frac{\tan (n x)}{\frac{1}{\csc (x)}}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\tan (n x)}{\frac{1}{\csc (x)}}$

خطوة 3.2

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 0^{-}} \tan (n x)}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\csc (x)}}$

خطوة 3.2.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.1.1

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة المماس متصلة.

$\frac{\tan (lim_{x \to 0^{-}} n x)}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\csc (x)}}$

خطوة 3.2.1.2.1.2

انقُل الحد $n$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\tan (n lim_{x \to 0^{-}} x)}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\csc (x)}}$

خطوة 3.2.1.2.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{\tan (n \cdot 0)}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\csc (x)}}$

خطوة 3.2.1.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.3.1

اضرب $n$ في $0$ .

$\frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\csc (x)}}$

خطوة 3.2.1.2.3.2

القيمة الدقيقة لـ $\tan (0)$ هي $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\csc (x)}}$

خطوة 3.2.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.3.1

طبّق المتطابقات المثلثية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.3.1.1

أعِد كتابة $\csc (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}}}$

خطوة 3.2.1.3.1.2

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} 1 \sin (x)}$

خطوة 3.2.1.3.1.3

اضرب $\sin (x)$ في $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \sin (x)}$

خطوة 3.2.1.3.2

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0^{-}} x)}$

خطوة 3.2.1.3.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

خطوة 3.2.1.3.4

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 3.2.1.3.5

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 3.2.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 3.2.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\tan (n x)}{\frac{1}{\csc (x)}} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (n x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

خطوة 3.2.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (n x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

خطوة 3.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \tan (x)$ و $g (x) = n x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $n x$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [n x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

خطوة 3.2.3.2.2

مشتق $\tan (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [n x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

خطوة 3.2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $n x$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sec^{2} (n x) \frac{d}{d x} [n x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

خطوة 3.2.3.3

بما أن $n$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $n x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $n \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sec^{2} (n x) (n \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

خطوة 3.2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sec^{2} (n x) (n \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

خطوة 3.2.3.5

اضرب $n$ في $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sec^{2} (n x) n}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

خطوة 3.2.3.6

أعِد ترتيب عوامل $\sec^{2} (n x) n$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n \sec^{2} (n x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

خطوة 3.2.3.7

أعِد كتابة $\csc (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n \sec^{2} (n x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}}]}$

خطوة 3.2.3.8

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n \sec^{2} (n x)}{\frac{d}{d x} [1 \sin (x)]}$

خطوة 3.2.3.9

اضرب $\sin (x)$ في $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n \sec^{2} (n x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

خطوة 3.2.3.10

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n \sec^{2} (n x)}{\cos (x)}$

خطوة 3.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

أعِد كتابة $\sec (n x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n {(\frac{1}{\cos (n x)})}^{2}}{\cos (x)}$

خطوة 3.2.4.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\cos (n x)}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n \frac{1^{2}}{\cos^{2} (n x)}}{\cos (x)}$

خطوة 3.2.4.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n \frac{1}{\cos^{2} (n x)}}{\cos (x)}$

خطوة 3.2.5

اجمع $n$ و $\frac{1}{\cos^{2} (n x)}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{n}{\cos^{2} (n x)}}{\cos (x)}$

خطوة 3.2.6

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n}{\cos^{2} (n x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

خطوة 3.2.7

اجمع.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n \cdot 1}{\cos^{2} (n x) \cos (x)}$

خطوة 3.2.8

اضرب $n$ في $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n}{\cos^{2} (n x) \cos (x)}$

خطوة 3.2.9

اضرب في $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n}{\cos^{2} (n x) \cdot 1 \cos (x)}$

خطوة 3.2.10

افصِل الكسور.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n}{1 \cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (n x)}$

خطوة 3.2.11

حوّل من $\frac{1}{\cos^{2} (n x)}$ إلى $\sec^{2} (n x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n}{1 \cos (x)} \sec^{2} (n x)$

خطوة 3.2.12

اضرب $\cos (x)$ في $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n}{\cos (x)} \sec^{2} (n x)$

خطوة 3.2.13

افصِل الكسور.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \sec^{2} (n x)$

خطوة 3.2.14

حوّل من $\frac{1}{\cos (x)}$ إلى $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n}{1} \sec (x) \sec^{2} (n x)$

خطوة 3.2.15

اقسِم $n$ على $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} n \sec (x) \sec^{2} (n x)$

خطوة 3.3

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

انقُل الحد $n$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$n lim_{x \to 0^{-}} \sec (x) \sec^{2} (n x)$

خطوة 3.3.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$n lim_{x \to 0^{-}} \sec (x) \cdot lim_{x \to 0^{-}} \sec^{2} (n x)$

خطوة 3.3.3

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة القاطع متصلة.

$n \sec (lim_{x \to 0^{-}} x) \cdot lim_{x \to 0^{-}} \sec^{2} (n x)$

خطوة 3.3.4

انقُل الأُس $2$ من $\sec^{2} (n x)$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$n \sec (lim_{x \to 0^{-}} x) \cdot {(lim_{x \to 0^{-}} \sec (n x))}^{2}$

خطوة 3.3.5

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة القاطع متصلة.

$n \sec (lim_{x \to 0^{-}} x) \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0^{-}} n x)$

خطوة 3.3.6

انقُل الحد $n$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$n \sec (lim_{x \to 0^{-}} x) \cdot \sec^{2} (n lim_{x \to 0^{-}} x)$

خطوة 3.4

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$n \sec (0) \cdot \sec^{2} (n lim_{x \to 0^{-}} x)$

خطوة 3.4.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$n \sec (0) \cdot \sec^{2} (n \cdot 0)$

خطوة 3.5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

القيمة الدقيقة لـ $\sec (0)$ هي $1$ .

$n \cdot 1 \cdot \sec^{2} (n \cdot 0)$

خطوة 3.5.2

اضرب $n$ في $1$ .

$n \cdot \sec^{2} (n \cdot 0)$

خطوة 3.5.3

اضرب $n$ في $0$ .

$n \cdot \sec^{2} (0)$

خطوة 3.5.4

القيمة الدقيقة لـ $\sec (0)$ هي $1$ .

$n \cdot 1^{2}$

خطوة 3.5.5

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$n \cdot 1$

خطوة 3.5.6

اضرب $n$ في $1$ .

$n$

خطوة 4

عيّن الحد في صورة حد أيمن الجانب.

$lim_{x \to 0^{+}} \tan (n x) \csc (x)$

خطوة 5

احسِب قيمة الحد أيمن الجانب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة $\tan (n x) \csc (x)$ بالصيغة $\frac{\tan (n x)}{\frac{1}{\csc (x)}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\tan (n x)}{\frac{1}{\csc (x)}}$

خطوة 5.2

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \tan (n x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc (x)}}$

خطوة 5.2.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.2.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.2.1.1

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة المماس متصلة.

$\frac{\tan (lim_{x \to 0^{+}} n x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc (x)}}$

خطوة 5.2.1.2.1.2

انقُل الحد $n$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\tan (n lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc (x)}}$

خطوة 5.2.1.2.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{\tan (n \cdot 0)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc (x)}}$

خطوة 5.2.1.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.2.3.1

اضرب $n$ في $0$ .

$\frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc (x)}}$

خطوة 5.2.1.2.3.2

القيمة الدقيقة لـ $\tan (0)$ هي $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc (x)}}$

خطوة 5.2.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.3.1

طبّق المتطابقات المثلثية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.3.1.1

أعِد كتابة $\csc (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}}}$

خطوة 5.2.1.3.1.2

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} 1 \sin (x)}$

خطوة 5.2.1.3.1.3

اضرب $\sin (x)$ في $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x)}$

خطوة 5.2.1.3.2

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x)}$

خطوة 5.2.1.3.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

خطوة 5.2.1.3.4

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 5.2.1.3.5

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 5.2.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 5.2.2

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\tan (n x)}{\frac{1}{\csc (x)}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (n x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

خطوة 5.2.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (n x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

خطوة 5.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \tan (x)$ و $g (x) = n x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $n x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [n x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

خطوة 5.2.3.2.2

مشتق $\tan (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [n x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

خطوة 5.2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $n x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sec^{2} (n x) \frac{d}{d x} [n x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

خطوة 5.2.3.3

بما أن $n$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $n x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $n \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sec^{2} (n x) (n \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

خطوة 5.2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sec^{2} (n x) (n \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

خطوة 5.2.3.5

اضرب $n$ في $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sec^{2} (n x) n}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

خطوة 5.2.3.6

أعِد ترتيب عوامل $\sec^{2} (n x) n$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n \sec^{2} (n x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

خطوة 5.2.3.7

أعِد كتابة $\csc (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n \sec^{2} (n x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}}]}$

خطوة 5.2.3.8

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n \sec^{2} (n x)}{\frac{d}{d x} [1 \sin (x)]}$

خطوة 5.2.3.9

اضرب $\sin (x)$ في $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n \sec^{2} (n x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

خطوة 5.2.3.10

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n \sec^{2} (n x)}{\cos (x)}$

خطوة 5.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

أعِد كتابة $\sec (n x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n {(\frac{1}{\cos (n x)})}^{2}}{\cos (x)}$

خطوة 5.2.4.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\cos (n x)}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n \frac{1^{2}}{\cos^{2} (n x)}}{\cos (x)}$

خطوة 5.2.4.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n \frac{1}{\cos^{2} (n x)}}{\cos (x)}$

خطوة 5.2.5

اجمع $n$ و $\frac{1}{\cos^{2} (n x)}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{n}{\cos^{2} (n x)}}{\cos (x)}$

خطوة 5.2.6

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n}{\cos^{2} (n x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

خطوة 5.2.7

اجمع.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n \cdot 1}{\cos^{2} (n x) \cos (x)}$

خطوة 5.2.8

اضرب $n$ في $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n}{\cos^{2} (n x) \cos (x)}$

خطوة 5.2.9

اضرب في $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n}{\cos^{2} (n x) \cdot 1 \cos (x)}$

خطوة 5.2.10

افصِل الكسور.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n}{1 \cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (n x)}$

خطوة 5.2.11

حوّل من $\frac{1}{\cos^{2} (n x)}$ إلى $\sec^{2} (n x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n}{1 \cos (x)} \sec^{2} (n x)$

خطوة 5.2.12

اضرب $\cos (x)$ في $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n}{\cos (x)} \sec^{2} (n x)$

خطوة 5.2.13

افصِل الكسور.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \sec^{2} (n x)$

خطوة 5.2.14

حوّل من $\frac{1}{\cos (x)}$ إلى $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n}{1} \sec (x) \sec^{2} (n x)$

خطوة 5.2.15

اقسِم $n$ على $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} n \sec (x) \sec^{2} (n x)$

خطوة 5.3

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

انقُل الحد $n$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$n lim_{x \to 0^{+}} \sec (x) \sec^{2} (n x)$

خطوة 5.3.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$n lim_{x \to 0^{+}} \sec (x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sec^{2} (n x)$

خطوة 5.3.3

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة القاطع متصلة.

$n \sec (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sec^{2} (n x)$

خطوة 5.3.4

انقُل الأُس $2$ من $\sec^{2} (n x)$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$n \sec (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot {(lim_{x \to 0^{+}} \sec (n x))}^{2}$

خطوة 5.3.5

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة القاطع متصلة.

$n \sec (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0^{+}} n x)$

خطوة 5.3.6

انقُل الحد $n$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$n \sec (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \sec^{2} (n lim_{x \to 0^{+}} x)$

خطوة 5.4

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$n \sec (0) \cdot \sec^{2} (n lim_{x \to 0^{+}} x)$

خطوة 5.4.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$n \sec (0) \cdot \sec^{2} (n \cdot 0)$

خطوة 5.5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

القيمة الدقيقة لـ $\sec (0)$ هي $1$ .

$n \cdot 1 \cdot \sec^{2} (n \cdot 0)$

خطوة 5.5.2

اضرب $n$ في $1$ .

$n \cdot \sec^{2} (n \cdot 0)$

خطوة 5.5.3

اضرب $n$ في $0$ .

$n \cdot \sec^{2} (0)$

خطوة 5.5.4

القيمة الدقيقة لـ $\sec (0)$ هي $1$ .

$n \cdot 1^{2}$

خطوة 5.5.5

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$n \cdot 1$

خطوة 5.5.6

اضرب $n$ في $1$ .

$n$

خطوة 6

بما أن الحد أيسر الجانب يساوي الحد أيمن الجانب، إذن الحد يساوي $n$ .

$n$