حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{\sin (x)}{\cos^{5} (x)}$

خطوة 1

اكتب $\frac{\sin (x)}{\cos^{5} (x)}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{5} (x)}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{\sin (x)}{\cos^{5} (x)} d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u = \cos (x)$ . إذن $d u = - \sin (x) d x$ ، لذا $- d u = \sin (x) d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = \cos (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 4.1.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u^{5}} d u$

خطوة 5

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int - \frac{1}{u^{5}} d u$

خطوة 6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{1}{u^{5}} d u$

خطوة 7

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

انقُل $u^{5}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$- \int {(u^{5})}^{- 1} d u$

خطوة 7.2

اضرب الأُسس في ${(u^{5})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int u^{5 \cdot - 1} d u$

خطوة 7.2.2

اضرب $5$ في $- 1$ .

$- \int u^{- 5} d u$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- 5}$ بالنسبة إلى $u$ هو $- \frac{1}{4} u^{- 4}$ .

$- (- \frac{1}{4} u^{- 4} + C)$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اجمع $u^{- 4}$ و $\frac{1}{4}$ .

$- (- \frac{u^{- 4}}{4} + C)$

خطوة 9.1.2

انقُل $u^{- 4}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (- \frac{1}{4 u^{4}} + C)$

خطوة 9.2

بسّط.

$- - \frac{1}{4 u^{4}} + C$

خطوة 9.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \frac{1}{4 u^{4}} + C$

خطوة 9.3.2

اضرب $\frac{1}{4 u^{4}}$ في $1$ .

$\frac{1}{4 u^{4}} + C$

خطوة 10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\cos (x)$ .

$\frac{1}{4 \cos^{4} (x)} + C$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اضرب في $1$ .

$\frac{1}{4 (\cos^{4} (x) \cdot 1)} + C$

خطوة 11.2

افصِل الكسور.

$\frac{1}{4 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{4} (x)} + C$

خطوة 11.3

حوّل من $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ إلى $\sec^{4} (x)$ .

$\frac{1}{4 \cdot (1)} \sec^{4} (x) + C$

خطوة 11.4

اضرب $4$ في $1$ .

$\frac{1}{4} \sec^{4} (x) + C$

خطوة 11.5

اجمع $\frac{1}{4}$ و $\sec^{4} (x)$ .

$\frac{\sec^{4} (x)}{4} + C$

خطوة 11.6

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{4} \sec^{4} (x) + C$

خطوة 12

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{5} (x)}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} \sec^{4} (x) + C$