حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{\frac{1}{18}}^{\frac{1}{6}} \csc (3 π t) \cot (3 π t) d t$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{2} = \csc (3 π t)$ . إذن $d u_{2} = - 3 π \cot (3 π t) \csc (3 π t) d t$ ، لذا $\frac{1}{- 3 π} d u_{2} = \cot (3 π t) \csc (3 π t) d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{2} = \csc (3 π t)$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\csc (3 π t)$ .

$\frac{d}{d t} [\csc (3 π t)]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = \csc (t)$ و $g (t) = 3 π t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $3 π t$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d t} [3 π t]$

خطوة 1.1.2.2

مشتق $\csc (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d t} [3 π t]$

خطوة 1.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $3 π t$ .

$- \csc (3 π t) \cot (3 π t) \frac{d}{d t} [3 π t]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $3 π$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $3 π t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $3 π \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \csc (3 π t) \cot (3 π t) (3 π \frac{d}{d t} [t])$

خطوة 1.1.3.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$- 3 \csc (3 π t) \cot (3 π t) (π \frac{d}{d t} [t])$

خطوة 1.1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 3 \csc (3 π t) \cot (3 π t) (π \cdot 1)$

خطوة 1.1.3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.4.1

اضرب $π$ في $1$ .

$- 3 \csc (3 π t) \cot (3 π t) π$

خطوة 1.1.3.4.2

أعِد ترتيب عوامل $- 3 \csc (3 π t) \cot (3 π t) π$ .

$- 3 π \cot (3 π t) \csc (3 π t)$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $t$ في $u_{2} = \csc (3 π t)$ .

$u_{lower} = \csc (3 π \frac{1}{18})$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

أخرِج العامل $3$ من $3 π$ .

$u_{lower} = \csc (3 (π) \frac{1}{18})$

خطوة 1.3.1.2

أخرِج العامل $3$ من $18$ .

$u_{lower} = \csc (3 (π) \frac{1}{3 (6)})$

خطوة 1.3.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$u_{lower} = \csc (3 π \frac{1}{3 \cdot 6})$

خطوة 1.3.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$u_{lower} = \csc (π \frac{1}{6})$

خطوة 1.3.2

اجمع $π$ و $\frac{1}{6}$ .

$u_{lower} = \csc (\frac{π}{6})$

خطوة 1.3.3

القيمة الدقيقة لـ $\csc (\frac{π}{6})$ هي $2$ .

$u_{lower} = 2$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $t$ في $u_{2} = \csc (3 π t)$ .

$u_{upper} = \csc (3 π \frac{1}{6})$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

أخرِج العامل $3$ من $3 π$ .

$u_{upper} = \csc (3 (π) \frac{1}{6})$

خطوة 1.5.1.2

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$u_{upper} = \csc (3 (π) \frac{1}{3 (2)})$

خطوة 1.5.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$u_{upper} = \csc (3 π \frac{1}{3 \cdot 2})$

خطوة 1.5.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$u_{upper} = \csc (π \frac{1}{2})$

خطوة 1.5.2

اجمع $π$ و $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \csc (\frac{π}{2})$

خطوة 1.5.3

القيمة الدقيقة لـ $\csc (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$u_{upper} = 1$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 1$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{2}^{1} \frac{1}{- 3 π} d u_{2}$

خطوة 2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int_{2}^{1} - \frac{1}{3 π} d u_{2}$

خطوة 3

طبّق قاعدة الثابت.

$- \frac{1}{3 π} u_{2}]_{2}^{1}$

خطوة 4

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب قيمة $- \frac{1}{3 π} u_{2}$ في $1$ وفي $2$ .

$(- \frac{1}{3 π} \cdot 1) + \frac{1}{3 π} \cdot 2$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{1}{3 π} + \frac{1}{3 π} \cdot 2$

خطوة 4.2.2

اجمع $\frac{1}{3 π}$ و $2$ .

$- \frac{1}{3 π} + \frac{2}{3 π}$

خطوة 4.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 1 + 2}{3 π}$

خطوة 4.2.4

أضف $- 1$ و $2$ .

$\frac{1}{3 π}$

خطوة 5

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{1}{3 π}$

الصيغة العشرية:

$0.10610329 \dots$