حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{2} y^{2} \sqrt{1 + y^{3}} d y$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 1 + y^{3}$ . إذن $d u = 3 y^{2} d y$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = y^{2} d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 1 + y^{3}$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $1 + y^{3}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{3}]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + y^{3}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

خطوة 1.1.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$0 + 3 y^{2}$

خطوة 1.1.5

أضف $0$ و $3 y^{2}$ .

$3 y^{2}$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $y$ في $u = 1 + y^{3}$ .

$u_{lower} = 1 + 0^{3}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = 1 + 0$

خطوة 1.3.2

أضف $1$ و $0$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $y$ في $u = 1 + y^{3}$ .

$u_{upper} = 1 + 2^{3}$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$u_{upper} = 1 + 8$

خطوة 1.5.2

أضف $1$ و $8$ .

$u_{upper} = 9$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{1}^{9} \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

خطوة 2

اجمع $\sqrt{u}$ و $\frac{1}{3}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} \int_{1}^{9} \sqrt{u} d u$

خطوة 4

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9}$

خطوة 6

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احسِب قيمة $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ في $9$ وفي $1$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.4

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.5

اجمع $\frac{2}{3}$ و $27$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.6

اضرب $2$ في $27$ .

$\frac{1}{3} (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.7

احذِف العامل المشترك لـ $54$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.7.1

أخرِج العامل $3$ من $54$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.7.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{3} (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.7.2.4

اقسِم $18$ على $1$ .

$\frac{1}{3} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.8

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{3} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1)$

خطوة 6.2.9

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{3} (18 - \frac{2}{3})$

خطوة 6.2.10

لكتابة $18$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

خطوة 6.2.11

اجمع $18$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3})$

خطوة 6.2.12

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{18 \cdot 3 - 2}{3}$

خطوة 6.2.13

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.13.1

اضرب $18$ في $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{54 - 2}{3}$

خطوة 6.2.13.2

اطرح $2$ من $54$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{52}{3}$

خطوة 6.2.14

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{52}{3}$ .

$\frac{52}{3 \cdot 3}$

خطوة 6.2.15

اضرب $3$ في $3$ .

$\frac{52}{9}$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{52}{9}$

الصيغة العشرية:

$5.\overline{7}$

صيغة العدد الذي به كسر:

$5 \frac{7}{9}$

خطوة 8