حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{2} + 7 x + 1} - x$

خطوة 1

اضرب لحذف الجذور من بسط الكسر.

$lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^{2} + 7 x + 1} - x) (\sqrt{x^{2} + 7 x + 1} + x)}{\sqrt{x^{2} + 7 x + 1} + x}$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وسّع بسط الكسر باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

$lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{x^{2} + 7 x + 1}}^{2} + \sqrt{x^{2} + 7 x + 1} x + \sqrt{x^{2} + 7 x + 1} (- x) - x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 7 x + 1} + x}$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اطرح $x^{2}$ من $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{7 x + 1 + 0}{\sqrt{x^{2} + 7 x + 1} + x}$

خطوة 2.2.2

أضف $7 x + 1$ و $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{7 x + 1}{\sqrt{x^{2} + 7 x + 1} + x}$

خطوة 3

اقسِم بسط الكسر والقاسم على أعلى قوة لـ $x$ في القاسم، وهي $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7 x}{x} + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

خطوة 4

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7 x}{x} + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

خطوة 4.1.2

اقسِم $7$ على $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{7 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

خطوة 4.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{7 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

خطوة 4.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to \infty} \frac{7 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

خطوة 4.2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to \infty} \frac{7 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

خطوة 4.2.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1

أخرِج العامل $x$ من $7 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{7 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{x \cdot 7}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

خطوة 4.2.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{7 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{x \cdot 7}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

خطوة 4.2.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to \infty} \frac{7 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{x \cdot 7}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

خطوة 4.2.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to \infty} \frac{7 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{7}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

خطوة 4.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 7 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{7}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

خطوة 4.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 7 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{7}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

خطوة 4.5

احسِب قيمة حد $7$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$\frac{7 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{7}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

خطوة 5

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x}$ يقترب من $0$ .

$\frac{7 + 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{7}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

خطوة 6

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{7 + 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{7}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

خطوة 6.2

انقُل النهاية أسفل علامة الجذر.

$\frac{7 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{7}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

خطوة 6.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{7 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

خطوة 6.4

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$\frac{7 + 0}{\sqrt{1 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

خطوة 6.5

انقُل الحد $7$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{7 + 0}{\sqrt{1 + 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

خطوة 7

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x}$ يقترب من $0$ .

$\frac{7 + 0}{\sqrt{1 + 7 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

خطوة 8

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x^{2}}$ يقترب من $0$ .

$\frac{7 + 0}{\sqrt{1 + 7 \cdot 0 + 0} + lim_{x \to \infty} 1}$

خطوة 9

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$\frac{7 + 0}{\sqrt{1 + 7 \cdot 0 + 0} + 1}$

خطوة 9.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

أضف $7$ و $0$ .

$\frac{7}{\sqrt{1 + 7 \cdot 0 + 0} + 1}$

خطوة 9.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

اضرب $7$ في $0$ .

$\frac{7}{\sqrt{1 + 0 + 0} + 1}$

خطوة 9.2.2.2

أضف $1 + 0$ و $0$ .

$\frac{7}{\sqrt{1 + 0} + 1}$

خطوة 9.2.2.3

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{7}{\sqrt{1} + 1}$

خطوة 9.2.2.4

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$\frac{7}{1 + 1}$

خطوة 9.2.2.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{7}{2}$

خطوة 10

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{7}{2}$

الصيغة العشرية:

$3.5$