حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = - \frac{1}{10} x^{5} + 2 x^{4} - 12 x^{3}$

خطوة 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- \frac{1}{10} x^{5} + 2 x^{4} - 12 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

خطوة 1.1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.1

بما أن $- \frac{1}{10}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{1}{10} x^{5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

خطوة 1.1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$- \frac{1}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

خطوة 1.1.1.2.3

اضرب $5$ في $- 1$ .

$- 5 (\frac{1}{10}) x^{4} + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

خطوة 1.1.1.2.4

اجمع $- 5$ و $\frac{1}{10}$ .

$\frac{- 5}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

خطوة 1.1.1.2.5

اجمع $\frac{- 5}{10}$ و $x^{4}$ .

$\frac{- 5 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

خطوة 1.1.1.2.6

احذِف العامل المشترك لـ $- 5$ و $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.6.1

أخرِج العامل $5$ من $- 5 x^{4}$ .

$\frac{5 (- x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

خطوة 1.1.1.2.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.6.2.1

أخرِج العامل $5$ من $10$ .

$\frac{5 (- x^{4})}{5 (2)} + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

خطوة 1.1.1.2.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 (- x^{4})}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

خطوة 1.1.1.2.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

خطوة 1.1.1.2.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

خطوة 1.1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{x^{4}}{2} + 2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

خطوة 1.1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$- \frac{x^{4}}{2} + 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

خطوة 1.1.1.3.3

اضرب $4$ في $2$ .

$- \frac{x^{4}}{2} + 8 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

خطوة 1.1.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.1

بما أن $- 12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 12 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{x^{4}}{2} + 8 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 1.1.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$- \frac{x^{4}}{2} + 8 x^{3} - 12 (3 x^{2})$

خطوة 1.1.1.4.3

اضرب $3$ في $- 12$ .

$f' (x) = - \frac{x^{4}}{2} + 8 x^{3} - 36 x^{2}$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- \frac{x^{4}}{2} + 8 x^{3} - 36 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

خطوة 1.1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

بما أن $- \frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{x^{4}}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

خطوة 1.1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$- \frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

خطوة 1.1.2.2.3

اضرب $4$ في $- 1$ .

$- 4 (\frac{1}{2}) x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

خطوة 1.1.2.2.4

اجمع $- 4$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

خطوة 1.1.2.2.5

اجمع $\frac{- 4}{2}$ و $x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

خطوة 1.1.2.2.6

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.6.1

أخرِج العامل $2$ من $- 4 x^{3}$ .

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

خطوة 1.1.2.2.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.6.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

خطوة 1.1.2.2.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

خطوة 1.1.2.2.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

خطوة 1.1.2.2.6.2.4

اقسِم $- 2 x^{3}$ على $1$ .

$- 2 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

خطوة 1.1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 2 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

خطوة 1.1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$- 2 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

خطوة 1.1.2.3.3

اضرب $3$ في $8$ .

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

خطوة 1.1.2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.1

بما أن $- 36$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 36 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 36 (2 x)$

خطوة 1.1.2.4.3

اضرب $2$ في $- 36$ .

$f'' (x) = - 2 x^{3} + 24 x^{2} - 72 x$

خطوة 1.1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 72 x$ .

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 72 x$

خطوة 1.2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 72 x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 72 x = 0$

خطوة 1.2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

أخرِج العامل $- 2 x$ من $- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 72 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.1

أخرِج العامل $- 2 x$ من $- 2 x^{3}$ .

$- 2 x \cdot x^{2} + 24 x^{2} - 72 x = 0$

خطوة 1.2.2.1.2

أخرِج العامل $- 2 x$ من $24 x^{2}$ .

$- 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 12 x) - 72 x = 0$

خطوة 1.2.2.1.3

أخرِج العامل $- 2 x$ من $- 72 x$ .

$- 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 12 x) - 2 x \cdot 36 = 0$

خطوة 1.2.2.1.4

أخرِج العامل $- 2 x$ من $- 2 x (x^{2}) - 2 x (- 12 x)$ .

$- 2 x (x^{2} - 12 x) - 2 x \cdot 36 = 0$

خطوة 1.2.2.1.5

أخرِج العامل $- 2 x$ من $- 2 x (x^{2} - 12 x) - 2 x (36)$ .

$- 2 x (x^{2} - 12 x + 36) = 0$

خطوة 1.2.2.2

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1

أعِد كتابة $36$ بالصيغة $6^{2}$ .

$- 2 x (x^{2} - 12 x + 6^{2}) = 0$

خطوة 1.2.2.2.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$12 x = 2 \cdot x \cdot 6$

خطوة 1.2.2.2.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$- 2 x (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 6 + 6^{2}) = 0$

خطوة 1.2.2.2.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = x$ و $b = 6$ .

$- 2 x {(x - 6)}^{2} = 0$

خطوة 1.2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

${(x - 6)}^{2} = 0$

خطوة 1.2.4

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 1.2.5

عيّن قيمة العبارة ${(x - 6)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

عيّن قيمة ${(x - 6)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

${(x - 6)}^{2} = 0$

خطوة 1.2.5.2

أوجِد قيمة $x$ في ${(x - 6)}^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.1

عيّن قيمة $x - 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 6 = 0$

خطوة 1.2.5.2.2

أضف $6$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 6$

خطوة 1.2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- 2 x {(x - 6)}^{2} = 0$ صحيحة.

$x = 0, 6$

خطوة 2

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 3

أنشئ فترات حول القيم $x$ التي يكون عندها المشتق الثاني مساويًا لصفر أو غير معرّف.

$(- \infty, 0) \cup (0, 6) \cup (6, \infty)$

خطوة 4

عوّض بأي عدد من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f'' (- 2) = - 2 {(- 2)}^{3} + 24 {(- 2)}^{2} - 72 \cdot - 2$

خطوة 4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

اضرب $- 2$ في ${(- 2)}^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.1

اضرب $- 2$ في ${(- 2)}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.1.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $1$ .

$f'' (- 2) = (- 2) {(- 2)}^{3} + 24 {(- 2)}^{2} - 72 \cdot - 2$

خطوة 4.2.1.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (- 2) = {(- 2)}^{1 + 3} + 24 {(- 2)}^{2} - 72 \cdot - 2$

خطوة 4.2.1.1.2

أضف $1$ و $3$ .

$f'' (- 2) = {(- 2)}^{4} + 24 {(- 2)}^{2} - 72 \cdot - 2$

خطوة 4.2.1.2

ارفع $- 2$ إلى القوة $4$ .

$f'' (- 2) = 16 + 24 {(- 2)}^{2} - 72 \cdot - 2$

خطوة 4.2.1.3

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 2) = 16 + 24 \cdot 4 - 72 \cdot - 2$

خطوة 4.2.1.4

اضرب $24$ في $4$ .

$f'' (- 2) = 16 + 96 - 72 \cdot - 2$

خطوة 4.2.1.5

اضرب $- 72$ في $- 2$ .

$f'' (- 2) = 16 + 96 + 144$

خطوة 4.2.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

أضف $16$ و $96$ .

$f'' (- 2) = 112 + 144$

خطوة 4.2.2.2

أضف $112$ و $144$ .

$f'' (- 2) = 256$

خطوة 4.2.3

الإجابة النهائية هي $256$ .

$256$

خطوة 4.3

الرسم البياني مقعر لأعلى في الفترة $(- \infty, 0)$ لأن $f'' (- 2)$ موجبة.

مقعر لأعلى خلال $(- \infty, 0)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 5

عوّض بأي عدد من الفترة $(0, 6)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3$ في العبارة.

$f'' (3) = - 2 {(3)}^{3} + 24 {(3)}^{2} - 72 \cdot 3$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$f'' (3) = - 2 \cdot 27 + 24 {(3)}^{2} - 72 \cdot 3$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $- 2$ في $27$ .

$f'' (3) = - 54 + 24 {(3)}^{2} - 72 \cdot 3$

خطوة 5.2.1.3

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f'' (3) = - 54 + 24 \cdot 9 - 72 \cdot 3$

خطوة 5.2.1.4

اضرب $24$ في $9$ .

$f'' (3) = - 54 + 216 - 72 \cdot 3$

خطوة 5.2.1.5

اضرب $- 72$ في $3$ .

$f'' (3) = - 54 + 216 - 216$

خطوة 5.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

أضف $- 54$ و $216$ .

$f'' (3) = 162 - 216$

خطوة 5.2.2.2

اطرح $216$ من $162$ .

$f'' (3) = - 54$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $- 54$ .

$- 54$

خطوة 5.3

الرسم البياني مقعر لأسفل في الفترة $(0, 6)$ لأن $f'' (3)$ سالبة.

مقعر لأسفل خلال $(0, 6)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

خطوة 6

عوّض بأي عدد من الفترة $(6, \infty)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $8$ في العبارة.

$f'' (8) = - 2 {(8)}^{3} + 24 {(8)}^{2} - 72 \cdot 8$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $8$ إلى القوة $3$ .

$f'' (8) = - 2 \cdot 512 + 24 {(8)}^{2} - 72 \cdot 8$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $- 2$ في $512$ .

$f'' (8) = - 1024 + 24 {(8)}^{2} - 72 \cdot 8$

خطوة 6.2.1.3

ارفع $8$ إلى القوة $2$ .

$f'' (8) = - 1024 + 24 \cdot 64 - 72 \cdot 8$

خطوة 6.2.1.4

اضرب $24$ في $64$ .

$f'' (8) = - 1024 + 1536 - 72 \cdot 8$

خطوة 6.2.1.5

اضرب $- 72$ في $8$ .

$f'' (8) = - 1024 + 1536 - 576$

خطوة 6.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

أضف $- 1024$ و $1536$ .

$f'' (8) = 512 - 576$

خطوة 6.2.2.2

اطرح $576$ من $512$ .

$f'' (8) = - 64$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 64$ .

$- 64$

خطوة 6.3

الرسم البياني مقعر لأسفل في الفترة $(6, \infty)$ لأن $f'' (8)$ سالبة.

مقعر لأسفل خلال $(6, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

خطوة 7

يكون الرسم البياني مقعرًا لأسفل إذا كان المشتق الثاني سالبًا ومقعرًا لأعلى إذا كان المشتق الثاني موجبًا.

مقعر لأعلى خلال $(- \infty, 0)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

مقعر لأسفل خلال $(0, 6)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

مقعر لأسفل خلال $(6, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

خطوة 8