حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{(\sin (2 x))}{\cos^{2} (2 x)} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{2} = \cos (2 x)$ . إذن $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{2} = \cos (2 x)$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.2.2

مشتق $\cos (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.1.3.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

خطوة 1.1.3.4

اضرب $- 2$ في $1$ .

$- 2 \sin (2 x)$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u_{2} = \cos (2 x)$ .

$u_{lower} = \cos (2 \cdot 0)$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اضرب $2$ في $0$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

خطوة 1.3.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u_{2} = \cos (2 x)$ .

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{6})$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2 (3)})$

خطوة 1.5.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

خطوة 1.5.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{3})$

خطوة 1.5.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{3})$ هي $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{{u_{2}}^{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2}$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{{u_{2}}^{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

خطوة 2.2

اضرب $\frac{1}{{u_{2}}^{2}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{{u_{2}}^{2} \cdot 2} d u_{2}$

خطوة 2.3

انقُل $2$ إلى يسار ${u_{2}}^{2}$ .

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int_{1}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$- (\frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

خطوة 5

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل ${u_{2}}^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

خطوة 5.2

اضرب الأُسس في ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

خطوة 5.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{2}}^{- 2}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$- \frac{1}{2} - {u_{2}}^{- 1}]_{1}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 7

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

احسِب قيمة $- {u_{2}}^{- 1}$ في $\frac{1}{2}$ وفي $1$ .

$- \frac{1}{2} ((- {(\frac{1}{2})}^{- 1}) + 1^{- 1})$

خطوة 7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

غيّر علامة الأُس بإعادة كتابة الأساس في صورة مقلوبه.

$- \frac{1}{2} (- 1 \cdot 2 + 1^{- 1})$

خطوة 7.2.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- \frac{1}{2} (- 2 + 1^{- 1})$

خطوة 7.2.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- \frac{1}{2} (- 2 + 1)$

خطوة 7.2.4

أضف $- 2$ و $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot - 1$

خطوة 7.2.5

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2})$

خطوة 7.2.6

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$\frac{1}{2}$

خطوة 8

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{1}{2}$

الصيغة العشرية:

$0.5$